MATHS-LYCEELa fonction $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$.
- Pour tout réel $x>$ et tout réel $h$ tel que $x+h>0 $, montrer que le taux d'accroissement de $f$ entre $x$ et $x+h$ est $T_h=\dfrac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$.
Taux d'accroissement d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ et $b$ deux réels distincts appartenant à $D_f$.
Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ est défini par $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Si on pose $b=a+h$, $h$ réel ( $a+h\in D_f$ et $h\neq 0$ puisque $b\neq a$), on a alors $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée de $\sqrt{x+h}-\sqrt{x}$
'expression conjuguée de $\sqrt{x+h}-\sqrt{x}$ est $\sqrt{x+h-}+\sqrt{x}$$T_h=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$
$~~~=\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$
$~~~=\dfrac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$
$~~~=\dfrac{\sqrt{x+h}^2-\sqrt{x}^2}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$ (troisième identité remarquable $a^(a-b)(a+b)=a^2-b^2$)
$~~~=\dfrac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$
$~~~=\dfrac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$
$~~~=\dfrac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$
- En déduire $f$ est dérivable pour tout réel $x\in D$ et donner l'expression de $f'(x)$ en fonction de $u(x)$, $u'(x)$, $v(x)$ et $v'(x)$.
Nombre dérivé
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ appartenant à $D_f$.
S'il existe un réel $k$ tel que le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ de $f$ entre $a$ et $a+h$ se " rapproche" de $k$ lorsque $h$ se rapproche de 0 alors $f$ est dérivable en $x=a$.
$k$ est le nombre dérivé de $f$ en $x=a$ et se note $f'(a)$}$=k$.
On note alors $f'(a)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (se lit limite de $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers 0.)
Lorsque $h \longrightarrow 0$ alors $\sqrt{x+h}\longrightarrow \sqrt{x}$Lorsque $h \longrightarrow 0$ alors $\sqrt{x+h}\longrightarrow \sqrt{x}$
donc $\sqrt{x+h}+\sqrt{x} \longrightarrow 2\sqrt{x}$
donc lorsque $h\longrightarrow 0$ on a $T_h\longrightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
On a $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}T_h= \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
- On prend maintenant $x=0$ et $h$ tel $h>0$.
Exprimer le taux d'accroissement de $f$ entre $0$ et $0+h$ en fonction de $h$ et en déduire que $f$ n'est pas dérivable en $0$.$T_h=\dfrac{f(0+h)-f(0)}{0+h-0}$
$~~~=\dfrac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}$
$~~~=\dfrac{\sqrt{h}}{h}$
$~~~=\dfrac{\sqrt{h}\sqrt{h}}{h\sqrt{h}}$
$~~~=\dfrac{h}{h\sqrt{h}}$
$~~~=\dfrac{1}{\sqrt{h}}$
Lorsque $h\longrightarrow 0$ (avec $h>0$) on a $\sqrt{h} \longrightarrow 0$
donc $\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ devient "infiniment" grand
On a $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}T_h= +\infty$
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Cours nº 755
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Nombre dérivé et tangente à une courbe
- taux d'accroissement
- nombre dérivé
- interprétation géométrique et tangente
- équation d'une tangente
infos cours
| 20-25mn
série 3 : Démontrations de cours
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