1. Home
  2. chapitre 6 Produit scalaire
  3. exercice corrigé nº897
PDF reservé aux abonnés
On rappelle (voir ex 895) que $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{||\overrightarrow{u}||^2+||\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2}{2}$
  1. Dans un repère orthonormé, $\overbrace{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x';y')$.
    Exprimer $||\overrightarrow{u}||^2$, $||\overrightarrow{v}||^2$, et $||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2$ en fonction de $x$, $y$, $x'$ et $y'$.

    Rappel de cours

    Distance dans un repère

    Dans un repère orthonormé du plan, on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$,
    $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
    Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ alors $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2}$

    Solution

    $||\overrightarrow{u}||^2=x^2+y^2$
    $||\overrightarrow{v}||^2=x'^2+y'^2$
    $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}(x-x';y-y')$
    $||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2=(x-x')^2+(y-y')^2$
    $\phantom{||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2}=x^2-2xx'+x'^2+y^2-2yy'+y'^2$
  2. En déduire que $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$.

    Rappel de cours

    Identités remarquables

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

    Aide

    Utiliser l'égalité rappellée en début d'exrecice et simplifier le second membre

    Solution

    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{||\overrightarrow{u}||^2+||\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2}{2}$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{x^2+y^2+x'^2+y'^2-(x^2-2xx'+x'^2+y^2-2yy'+y'^2)}{2}$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{x^2+y^2+x'^2+y'^2-x^2+2xx'-x'^2-y^2+2yy'-y'^2}{2}$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{2xx'+2yy'}{2}$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{2(xx'+yy')}{2}$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$
Attention les fonctions ci-dessous sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
valider cet exercice
marquer cet exercice à revoir

Cours nº 866


Vous pouvez retourner sur le cours après avoir vu cette vidéo.

Expressions du produit scalaire (part1)

- définition du produit scalaire
- produit scalaire et projeté orthogonal
- utilisation des normes
- produit scalaire dans un repère orthonormé

infos cours

| 20-25mn
série 2 : Démonstrations de cours

retour sur le cours

exercices semblables


Si vous souhaitez vous emtraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.
Expression du produit scalaire avec les normes
| 10-15mn |