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  2. chapitre 6 Produit scalaire
  3. exercice corrigé nº872
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$ABCD$ est un parallélogramme orienté dans le sens direct (voir figure ci-dessous) tel que $AB=4$, $AD=3$ et $\widehat{BAD}=45^0$

  1. Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}$

    Rappel de cours

    Produit scalaire (définition)

    $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalaire des deux vecteurs est noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$,et est le nombre réel défini par:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$

    Valeurs remarquables du cos et du sin

    Solution

    figure

    $\dfrac{\pi}{4}$ radians correspondent à $\dfrac{180}{4}=45$ degrés
    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}=|| \overrightarrow{AB}||\times || \overrightarrow{AD}||\times cos( \widehat{BAD})$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}} =AB\times AD \times cos(\dfrac{\pi}{4})$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}} =4\times 3 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}} =6\sqrt{2}$
  2. Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{DC}$

    Rappel de cours

    Carré scalaire

    $\overrightarrow{u}^2=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=||\overrightarrow{u}||^2$

    Aide

    $ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}$

    Solution

    figure

    $ABCD $ est un parallélogramme donc $ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}$
    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{DC}= \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AB}$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{DC}} = \overrightarrow{AB}^2$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{DC}} =|| \overrightarrow{AB}||^2$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{DC}} =4^2$
  3. En déduire $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ en décomposant $\overrightarrow{AC}$

    Rappel de cours

    Propriétés du produit scalaire

    Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
    $(k \overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$

    $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$

    Aide

    $ \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{DC}= \overrightarrow{AC}$

    Solution

    figure

    $ \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{DC}$
    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB}.( \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{DC})$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}}= \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{DC}$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}} =6\sqrt{2}+16$
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Cours nº 867


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Propriétés du produit scalaire

- calculs avec le produit scalaire
- - vecteurs orthogonaux

infos cours

| 15mn
série 2 : Propriétés et calculs avec le produit scalaire

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