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  2. chapitre 6 Produit scalaire
  3. exercice corrigé nº876
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$ \overrightarrow{u}$ et $ \overrightarrow {v}$ sont deux vecteurs tels que $|| \overrightarrow{u}||=3$ et $|| \overrightarrow{v}||=5$ et $ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}=6$
  1. Calculer $( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})^2$

    Rappel de cours

    Propriétés du produit scalaire

    Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
    $(k \overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$

    $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$

    Carré scalaire

    $\overrightarrow{u}^2=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=||\overrightarrow{u}||^2$

    Aide

    développer $( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}).( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})$

    Solution

    $( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})^2$
    $=( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}).( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})$
    $= \overrightarrow{u}^2+2 \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}+ \overrightarrow{v}^2$
    $=|| \overrightarrow{u}||^2+2 \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}+|| \overrightarrow{v}||^2$
    $=3^2+2\times 6+5^2$
    $=9+12+25$
    $=46$
  2. Calculer $ \overrightarrow{u}.( \overrightarrow{u}- \overrightarrow{v})$

    Aide

    Développer l'expression et utiliser les données de l'énoncé

    Solution

    $ \overrightarrow{u}.( \overrightarrow{u}- \overrightarrow{v})$
    $= \overrightarrow{u}. \overrightarrow{u}- \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}$
    $=|| \overrightarrow{u}||^2- \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}$
    $=3^2-6$
    $=3$
  3. Calculer $(2 \overrightarrow{u}- \overrightarrow{v}).3 \overrightarrow{v}$

    Aide

    Développer l'expression et utiliser les données de l'énoncé

    Solution

    $(2 \overrightarrow{u}- \overrightarrow{v}).3 \overrightarrow{v}$
    $=2 \overrightarrow{u}.(3 \overrightarrow{v})- \overrightarrow{v}.(3 \overrightarrow{v})$
    $=(2\times 3) \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}-3 \overrightarrow{v}. \overrightarrow{v}$
    $=6 \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}-3 \overrightarrow{v}^2$
    $=6 \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}-3|| \overrightarrow{v}||^2$
    $=6\times 6-3\times 5^2$
    $=-39$
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Cours nº 867


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Propriétés du produit scalaire

- calculs avec le produit scalaire
- - vecteurs orthogonaux

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