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  2. chapitre 6 Produit scalaire
  3. exercice corrigé nº1034
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$A$ et $B$ sont deux points distincts du plan et $M$ un point quelconque du plan.
On note $I$ le milieu de $[AB]$.
  1. Exprimer $\overrightarrow{IB}$ en fonction de $\overrightarrow{AI}$.
    Que vaut la somme $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}$?

    Solution

    $I$ milieu de $[AB]$

    donc $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$

    $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$
  2. En utilisant la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$, montrer que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{AB^2}{4}$.

    Rappel de cours

    Relation de Chasles

    $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

    Propriétés du produit scalaire

    Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
    $(k \overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$

    $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$

    Aide

    On a $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}$

    Solution

    $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}).(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})$
    $\phantom{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}}=\overrightarrow{MI}^2+\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}$
    $\phantom{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}}=MI^2+\overrightarrow{MI}.(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA})+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}$
    On a $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$ et $\overrightarrow{IB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
    donc on a:
    $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MI^2+\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{0}-\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IB}$
    $\phantom{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}}=MI^2-\overrightarrow{IB}^2$
    $\phantom{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}}=MI^2-\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)^2$
    $\phantom{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}}=MI^2-\dfrac{AB^2}{4}$
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Cours nº 868


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