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  2. chapitre 6 Produit scalaire
  3. exercice corrigé nº1036
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$A$ et $B$ sont deux points du plan tels que $AB=6$cm.
  1. Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$.

    Rappel de cours

    Orthogonalité

    Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

    Aide

    Le cercle circonscrit à un triangle $ABC$ rectangle en $C$ a pour diamètre $[AB]$.

    Solution

    $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0 \Longleftrightarrow M=A $ ou $M=B$ ou $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ sont orhogonaux
    Si $M$ est distinct de $A$ et de $B$, $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ sont orthogonaux
    donc le triangle $ABM$ est rectangle en $M$
    donc $M$ appartient au cercle circonscrit au triangle $ABM$ de diamètre $[AB]$
  2. Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=7$.

    Rappel de cours

    Théorème de la médiane

    Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan.
    Pour tout point $M$ du plan, on a $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{AB^2}{4}$

    Solution

    Soit $I$ le milieu de $[AB]$, on a alors:
    $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}= MI^2-\dfrac{AB^2}{4}$
    $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=7 \Longleftrightarrow MI^2-\dfrac{AB^2}{4}=7$
    $\phantom{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=7}\Longleftrightarrow MI^2-\dfrac{36}{4}=7$
    $\phantom{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=7}\Longleftrightarrow MI^2-9=7$
    $\phantom{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=41}\Longleftrightarrow MI^2=16$
    $\phantom{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=41}\Longleftrightarrow MI=\sqrt{16}=4$
  3. Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-15$.

    Rappel de cours

    Théorème de la médiane

    Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan.
    Pour tout point $M$ du plan, on a $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{AB^2}{4}$

    Solution

    Soit $I$ le milieu de $[AB]$, on a alors:
    $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}= MI^2-\dfrac{AB^2}{4}$
    $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-15 \Longleftrightarrow MI^2-\dfrac{AB^2}{4}=-15$
    $\phantom{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-15}\Longleftrightarrow MI^2-\dfrac{36}{4}=-15$
    $\phantom{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-15}\Longleftrightarrow MI^2-9=-15$
    $\phantom{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-15}\Longleftrightarrow MI^2=-6$
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Cours nº 868


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Applications

- théorème de la médiane
- caractérisation du cercle
- calculs d'angles dans un triangle

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série 3 : Recherche d'un ensemble de points-lignes de niveau

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