$(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2 \Longleftrightarrow (x-2)^2+(y-1)^2=3^2 $
$(x-2)^2+(y-1)^2=9$ est une équation du cercle $\mathcal{C}$

$(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2 \Longleftrightarrow (x-(-3))^2+(y-2)^2=\sqrt{3}^2 \Longleftrightarrow (x+3)^2+(y-2)^2=3$
$(x+3)^2+(y-2)^2=3$ est une équation du cercle $\mathcal{C}$

Soit $C$ le milieu de $[AB]$
$\begin{cases} x_C =\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{2-4}{2}=-1 \\ y_C =\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{3+1}{2}=2 \end{cases}$
donc $C(-1;2)$ est le milieu de $[AB]$ donc le centre du cercle $\mathcal{C}$
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(-6)^2+(-2)^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$
donc le cercle $\mathcal{C}$ a pour rayon $r=\dfrac{2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}$
On a donc pour équation du cercle: $(x-(-1))^2+(y-2)^2=\sqrt{10}^2$
$(x+1)^2+(y-2)^2=10$ est une équation du cercle $\mathcal{C}$

Avec le produit scalaire:
Soit $M(x:y)$ un point du cercle $\mathcal{C}$
$\begin{cases} x_{ \overrightarrow{AM} } =x_M-x_A=x-2 \\ y_{ \overrightarrow{AM} } =y_M-y_A=y-3 \end{cases}$
donc $ \overrightarrow{AM}(x-2;y-3)$
$\begin{cases} x_{ \overrightarrow{BM}} =x_M-x_B=x-(-4)=x+4 \\ y_{ \overrightarrow{BM} } =y_M-y_B=y-1 \end{cases}$
donc $ \overrightarrow{BM}(x+4;y-1)$
$M \in \mathcal{C} \Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=0$
$\phantom{M\in\mathcal{C}} \Longleftrightarrow (x-2)(x+4)+(y-3)(y-1)=0$
$\phantom{M\in\mathcal{C}} \Longleftrightarrow x^2-2x+4x-8+y^2-y-3y+3=0$
$\phantom{M\in\mathcal{C}} \Longleftrightarrow x^2+2x+y^2-4y-5=0$
$x^2+2x+y^2-4y-5=0$ est une équation du cercle $\mathcal{C}$
Remarque
Les deux équations obtenues sont équivalentes mais la seconde forme ne fait pas apparaître les coordonnées du centre et le rayon.
$x^2+2x+y^2-4y-5=0\Longleftrightarrow (x+1)^2-1+(y-2)^2-4-5=0 \Longleftrightarrow (x+1)^2+(y-2)^2=10 $

Remarque
On peut contrôler le résultat avec GEOGEBRA.
Placer les points $A$ et $B$ puis le milieu $C$ de $[AB]$ et tracer le cercle (commande: cercle défini par son centre et un point) en pointant le centre $C$ puis $A$ ou $B$.

Soit $C$ le milieu de $[AB]$
$\begin{cases} x_C =\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{2+3}{2}=\dfrac{5}{2} \\ y_C =\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{1-5}{2}=-2 \end{cases}$
donc $C(\dfrac{5}{2} ;-2)$ est le milieu de $[AB]$ donc le centre du cercle $\mathcal{C}$
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(1)^2+(-6)^2}=\sqrt{37}$
donc le cercle $\mathcal{C}$ a pour rayon $r=\dfrac{\sqrt{37}}{2}$
On a donc pour équation du cercle: $(x-\dfrac{5}{2})^2+(y-(-2))^2=\left(\dfrac{\sqrt{37}}{2} \right)^2$
$(x-\dfrac{5}{2})^2+(y+2)^2=\dfrac{37}{4}$ est une équation du cercle $\mathcal{C}$
Remarque
On peut contrôler le résultat avec GEOGEBRA.