ex nº948 - Probabilités conditionnelles et notations

---

Le tableau ci-dessous donne la répartition des employé dans une entreprise en fonction de leur âge.

On note les événements:
- C : " l'employé est un cadre"
- T : " l'employé est un technicien"
- O : " l'employé est un ouvrier"
- J : " l'employé a moins de 30 ans"
Donner la signification des notations suivantes et calculer ensuite la probabilité demandée en arrondissant aux centièmes si nécessaire.

1. $p(C \cap J)$.

   Rappel de cours

   Intersection (A et B) et réunion (A ou B)

   ---

   Soient A et B deux événements.
   L'événement $A \cap B$ (lire A inter B) est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
   Si $A \cap B =\oslash$, on dit que A et B sont incompatibles.
   
   L'événement $A \cup B$ (lire A union B) est l'ensemble des issues qui réalisent A ou bien B, c'est à dire réalisant A ou bien réalisant B ou bien réalisant A et B.
   
   $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

   Aide

   Il faut déterminer le nombre d'employés répondant à ces deux critères ($C$ et $J$)

   Solution

   $p(C \cap J)$ est la probabilité que l'employé soit un cadre et a moins de 30 ans.
   D'après le tableau, il y a 35 cadres de moins de 30 ans parmi les 170 employés.
   $p(C \cap J)=\dfrac{35}{170}\approx 0,21$
   La probabilité que l'employé soit un cadre de moins de 30 ans est $p(C \cap J)\approx 0,21$
2. $p(C \cup \overline{J})$.

   Aide

   Il faut déterminer le nombre d'employés répondant l'un ou l'autre de ces deux critères ($C$ et $\overline{J}$)

   Solution

   $p(C \cup \overline{J})$ est la probabilité que l'employé soit un cadre ou bien a plus de 30 ans.
   D'après le tableau, il y a $20+32+43+35=130$ employés cadres ou bien de plus de 30 ans parmi les 170 employés.
   $p(C \cup \overline{J})=\dfrac{130}{170}\approx 0,76$
   La probabilité que l'employé soit un cadre ou bien a plus 30 ans est $p(C \cup \overline{J})\approx 0,76$
3. $p_O(J)$.

   Rappel de cours

   Probabilité conditionnelle

   ---

   Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
   La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
   et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.

   Aide

   Il faut déterminer le nombre d'employés répondant au critère $J$ parmi les 62 ouvriers

   Solution

   $p_O(J)$ est la probabilité que l'employé ait moins de 30 ans sachant que c'est un ouvrier.
   D'après le tableau, il y a $19$ employés de moins de 30 ans parmi les 62 ouvriers.
   $p_O(J)=\dfrac{19}{62}\approx 0,31$
   La probabilité que l'employé ait moins de 30 ans sachant que c'est un ouvrier est $p_O(J)\approx 0,31$ .
4. $p_{\overline{O}}(J)$.

   Aide

   Il faut déterminer le nombre d'employés répondant au critère $J$ parmi ceux qui ne sont pas ouvriers.

   Solution

   $p_{\overline{O}}(J)$ est la probabilité que l'employé ait moins de 30 ans sachant que ce n'est pas un ouvrier (c'est donc soit un cadre, soit un technicien).
   D'après le tableau, il y a $35+21=56$ employés de moins de 30 ans parmi les $55+53=108$ employés qui ne sont pas techniciens (voir tableau ci-dessous).
   
   $p_{\overline{O}}(J)=\dfrac{56}{108}\approx 0,51$
   $p_{\overline{O}}(J)\approx 0,51$