On pose $u(x)=3x$ et $v(x)=e^x$
et on a $u'(x)=3$ et $v'(x)=e^x$
$f~'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=3e^x+3xe^x=3e^x(1+x)$
Pour tout réel $x$, $e^x>0$
donc $f~'(x)$ est du signe de $1+x$
$1+x>0 \Longleftrightarrow x>-1$
donc $f~'(x)>0$ sur $]-1;+\infty[$
et donc $f$ est strictement croissante sur $]-1;+\infty[$
$f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;-1[$ et strictement croissante sur $]-1;+\infty[$
Courbe représentative de $f$ donnée à titre indicatif:

Remarque
Avec CASIO graphique:
Penser à contrôler le calcul de $f~'(x)$ avec le MENU TABLE de la calculatrice (voir fiche méthode Contrôler le calcul d'une dérivée avec la calculatrice CASIO)
MENU TABLE: saisir Y1=f(x) et Y2=f'(x)
SET OPTIONS vérifier que DERIVATIVE est sur ON
puis contrôler que $Y'1=Y2$

On pose $u(x)=3e^x$ et on a $v(x)=x^2+2$
On a $u'(x)=3e^x$ et $v'(x)=2x$
$f~'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)'-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$\phantom{f~'(x)}=\dfrac{3e^x(x^2+2)-3e^x \times 2x}{(x^2+2)^2}$
$\phantom{f~'(x)}=\dfrac{3e^x(x^2+2-2x)}{(x^2+2)^2}$
$\phantom{f~'(x)}=\dfrac{3e^x(x^2-2x+2)}{(x^2+2)^2}$
$f~'(x)=\dfrac{3e^x(x^2-2x+2)}{(x^2+2)^2}$
Pour tout réel $x$, on a $3e^x>0$ et $(x^2+2)^2>0$
donc $f~'(x)$ est du signe de $x^2-2x+2$
Recherche des racines de $x^2-2x+2$
$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times 1 \times 2=-4$ $\Delta < 0$ donc il y a n'y a pas de racine
et donc $x^2-2x+2$ est de signe constant et du signe de $a=1$ coefficient de $x^2$
donc $x^2-2x+2>0$
donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$