$f~'(x)=1+e^x$
Pour tout réel $x$, $e^x>0$
donc $1+e^x>0$
donc $f~'(x)>0$ sur $\mathbb{R}$
et donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$
Remarque
Avec CASIO graphique:
Penser à contrôler le calcul de $f~'(x)$ avec le MENU TABLE de la calculatrice (voir fiche méthode Contrôler le calcul d'une dérivée avec la calculatrice CASIO)
MENU TABLE: saisir Y1=f(x) et Y2=f'(x)
SET OPTIONS vérifier que DERIVATIVE est sur ON
puis contrôler que $Y'1=Y2$

$f~'(x)=-2e^x+0=-2e^x$ Pour tout réel $x$, on a $e^x>0$
donc $-2e^x<0$
donc $f'(x)<0$
donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$

On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^x$
et on a $u'(x)=1$ et $v'(x)=e^x$
$f~'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)+0$
$\phantom{f~'(x)}=1e^x+xe^x$
$\phantom{f~'(x)}=e^*x(x+1)$ Pour tout réel $x$, on a $e^x>0$
donc $e^x>0$
donc $f'(x)$ est du même signe que $x+1$
$x+1>0 \Longleftrightarrow x>-1$
donc $f'(x)>0$ pour $x>-1$ et $f'(x)<0$ pour $x<-1$
donc $f$ est décroissante sur $]-\infty;-1[$ et croissante sur $]-1;+\infty[$