Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb{R}$.
  1. $e^{3x+1}e^{2-x}=e^2$

    Relation fonctionnelle


    Pour tous réels $x$ et $y$ on a $exp(x)\times exp(y)=exp(x+y)$.
    Avec la notation $e^x$, on a $e^xe^y=e^{x+y}$

    Égalité et inégalités avec exponentielle


    Pour tous réels $a$ et $b$, on a:
    $e^a=e^b\Longleftrightarrow a=b$

    $e^a < e^b\Longleftrightarrow a < b$
    Écrire le membre de gauche avec une seule exponentielle
    $e^{3x+1}e^{2-x}=e^2\Longleftrightarrow e^{3x+1+2-x}=e^2$
    $\phantom{e^{3x+1}e^{2-x}=e^2}\Longleftrightarrow e^{2x+3}=e^2$
    $\phantom{e^{3x+1}e^{2-x}=e^2}\Longleftrightarrow 2x+3=2$
    $\phantom{e^{3x+1}e^{2-x}=e^2}\Longleftrightarrow 2x=-1$
    $\phantom{e^{3x+1}e^{2-x}=e^2}\Longleftrightarrow x=\dfrac{-1}{2}$
  2. $\dfrac{e^{3x}}{e^{x-2}}=e^{2x-3}$
    Il faut commencer par simplifier le membre de gauche
    $\dfrac{e^{3x}}{e^{x-2}}=e^{2x-3} \Longleftrightarrow e^{3x-(x-2)}=e^{2x-3}$

    $\phantom{\dfrac{e^3x}{e^{x-2}}=e^{2x-3}} \Longleftrightarrow e^{2x+2}=e^{2x-3}$

    $\phantom{\dfrac{e^3x}{e^{x-2}}=e^{2x-3}} \Longleftrightarrow 2x+2=2x-3$

    $\phantom{\dfrac{e^3x}{e^{x-2}}=e^{2x-3}} \Longleftrightarrow 0x=-5$
    donc il n'y a aucune solution ($0x=0\neq -5$)

    Une erreur fréquente consiste à écrire:
    $\dfrac{e^3x}{e^{x-2}}=e^{2x-3} \Longleftrightarrow \dfrac{3x}{x-2}=2x-3$
  3. $\dfrac{e^xe^{3x-1}}{e^{2x}}=1$
    $\dfrac{e^xe^{3x-1}}{e^{2x}}=1 \Longleftrightarrow e^{x+3x-1}=e^{2x}$
    $\phantom{\dfrac{e^xe^{3x-1}}{e^{2x}}=1} \Longleftrightarrow e^{4x-1}=e^{2x}$
    $\phantom{\dfrac{e^xe^{3x-1}}{e^{2x}}=1} \Longleftrightarrow 4x-1=2x$
    $\phantom{\dfrac{e^xe^{3x-1}}{e^{2x}}=1} \Longleftrightarrow 2x=1$
    $\phantom{\dfrac{e^xe^{3x-1}}{e^{2x}}=1} \Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$

devoir nº 1011


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Devoir complet fin de chapitre exponentielle

- calculs de dérivées et formules de dérivations
- résolution d'équations et d'inéquations
- étude de fonction: dérivée et variation

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