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  2. chapitre 2 Limites de fonctions
  3. exercice corrigé nº1118
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Dans chaque cas, déterminer la limite en $+\infty$ et $-\infty$.
  1. $f(x)=x^2+3x-1$ définie sur $\mathbb{R}$.

    Rappel de cours

    Limite fonction polynôme en +oo

    $P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$ polynôme de degré $n$
    - factoriser le terme de plus haut degré
    - chercher les limites de chaque terme de la parenthèse

    Aide

    En $+\infty$, il faut déterminer $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^2$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}3x-1$
    En $-\infty$, il y a un cas d'indétermination donc il faut factoriser par le terme de plus haut degré soit $x^2$.

    Solution

    Limite en $+\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^2=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}3x-1=+\infty$

    donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$


    Limite en $-\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}x^2=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}3x-1=-\infty$
    donc la limite de la somme est indéterminée.
    Pour tout réel $x<0$ (on peut supposer $x\neq 0$ puisqu'on cherche la limite quand $x \longrightarrow -\infty$), on a:
    $f(x)=x^2+3x-1=x^2\left(1+\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2}\right)$ (terme de plus haut degré en facteur)
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{3}{x}=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{1}{x^2}=0$
    donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} 1+\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2}=1$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}x^2=+\infty$
  2. $f(x)=-3x^3+2x^2-1$ définie sur $\mathbb{R}$.

    Aide

    En $-\infty$, il faut déterminer $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}-3x^3$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2x^2$
    En $+\infty$, il y a un cas d'indétermination donc il faut factoriser par le terme de plus haut degré soit $x^3$.

    Solution

    Limite en $-\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}-3x^3=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}2x^2=+\infty$


    Limite en $+\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-3x^3=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2x^2=+\infty$
    donc la limite de la somme est indéterminée.
    Pour tout réel $x>0$ (on peut supposer $x\neq 0$ puisqu'on cherche la limite quand $x \longrightarrow +\infty$), on a:
    $f(x)=-3x^3+2x^2-1=x^3\left(-3+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^3}\right)$ (terme de plus haut degré en facteur)
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{2}{x}=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-\dfrac{1}{x^3}=0$
    donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} -3+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^3}=-3$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^3=+\infty$

devoir nº 1135


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Devoir bilan limites

- limites et opérations sur les limites
- limites avec exponentielle et croissances comparées
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- asymptote oblique

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