MATHS-LYCEECalculer la dérivée de $f$ définie et dérivable sur $I$.
- $f(x)=ln(3x-6)$ sur $I=]2:+\infty[$
Dérivée d'une fonction composée
$u$ et $v$ sont définies et dérivables respectivement $I$ et $J$ avec $u(x)\in J$ pour tout $x\in I$. $vou$ est dérivable sur $I$ et $(vou)'=v'ou\times u'$.Dérivée de ln(u)
$u$ est définie et dérivable sur $I$ et on a $u(x)>0$ sur $I$.
La composée de la fonction $ln$ et de $u$ est dérivable sur $I$
$(ln(u))'=\dfrac{u'}{u}$On pose $u(x)=3x-6$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $f(x)=vou(x)$On pose $u(x)=3x-6$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $f(x)=vou(x)$
$u$ et $v$ sont dérivables sur $I=]2:+\infty[$
donc $f=vou$ est dérivable sur $]1;+\infty[$
$u'(x)=3$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
$f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{3x-6}\times 3$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{3}{3x-6}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{x-2}$
- $f(x)=2ln(x^2+1)$ sur $I=\mathbb{R}$
Dérivée d'une fonction composée
$u$ et $v$ sont définies et dérivables respectivement $I$ et $J$ avec $u(x)\in J$ pour tout $x\in I$. $vou$ est dérivable sur $I$ et $(vou)'=v'ou\times u'$.Dérivée de ln(u)
$u$ est définie et dérivable sur $I$ et on a $u(x)>0$ sur $I$.
La composée de la fonction $ln$ et de $u$ est dérivable sur $I$
$(ln(u))'=\dfrac{u'}{u}$On pose $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=2ln(x)$ et on a $f(x)=vou(x)$On pose $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $f(x)=vou(x)$
$u'(x)=2x$ et $v'(x)=\dfrac{2}{x}$
$f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{2}{x^2+1}\times 2x$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{4x}{x^2+1}$
En utilisant directement $(ln(u))'=\dfrac{u'}{u}$
on a $f'(x)=2\times \dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{4x}{x^2+1}$ - $f(x)=3ln(x^2+3)+x$ et $I=\mathbb{R}$
Dérivée d'une fonction composée
$u$ et $v$ sont définies et dérivables respectivement $I$ et $J$ avec $u(x)\in J$ pour tout $x\in I$. $vou$ est dérivable sur $I$ et $(vou)'=v'ou\times u'$.On pose $u(x)=x^2+3$ et on a $v(x)=3ln(x)$
On a $f(x)=vou(x)+x$On pose $u(x)=x^2+3$ et on a $v(x)=3ln(x)$
$f$ est de la forme $f(x)=vou(x)$
$u'(x)=2x$ et $v'(x)=\dfrac{3}{x}$
$f'(x)=\dfrac{3}{x^2+3}\times 2x+1=\dfrac{6x}{x^2+3}+1$
En utilisant directement $(ln(u))'=\dfrac{u'}{u}$
on a $f'(x)=3\times \dfrac{2x}{x^2+3}+1=\dfrac{6x}{x^2+3}+1$
devoir nº 1240
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Interrogation notions de base
- simplification d'expressions (utilisation des propriétés algébriques)
- équations de base (lien entre ln et exp)
- calcul de dérivées
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