$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=-1-1=-2 \\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=3-2=1 \\ \end{cases}$
$\overrightarrow{AB}(-2;1)$

Soit $M(x;y)$ un point de la droite $(AB)$.
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-1 \\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y-2 \\ \end{cases}$
$\overrightarrow{AM}(x-1;y-2)$
$M\in (AB)$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$ colinéaires
$\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{AM}}- y_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{AM}}=0$
$\Longleftrightarrow -2(y-2)-1(x-1)=0$
$\Longleftrightarrow -2y+4-x+1=0$
$\Longleftrightarrow -x-2y+5=0$
$-x-2y+5=0$ est une équation cartésienne de la droite (AB)
Remarque
Il existe une infinité d'équations cartésiennes pour une même droite.
Par exemple $-x-2y+5=0\Longleftrightarrow x+2y-5=0\Longleftrightarrow 2x+4y-10=0$ sont deux autres équations cartésiennes possibles de (d).
On peut utiliser également GEOGEBRA pour contrôler le résultat car une équation de la droite tracée est affichée dans la fenêtre algèbre
On peut aussi vérifier avec la calculatrice que les coordonnées des deux point de l'énoncé vérifie l'équation de droite obtenue.

$x+2y-5=0\Longleftrightarrow x+2y=-5$
Ouvrir le fichier GEOGEBRA de la figure

Autres méthodes possibles:
$\overrightarrow{AB}(-2;1)$ est un vecteur directeur de (AB)
et si $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne de (AB), le vecteur $\overrightarrow{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de (AB)
donc ici $-b=-2$ soit $b=2$ et $a=1$ donc une équation cartésienne de (AB) est de la forme $x+2y+c=0$
On peut utiliser les les coordonnées du point A pour calculer $c$:
$A\in (AB)\Longleftrightarrow x_A+2y_A+c=0\Longleftrightarrow 1+4+c=0\Longleftrightarrow c=-5$
On retrouve $x+2y-5=0$ pour une équation cartésienne de (AB)

On peut aussi utiliser la méthode de seconde (calcul du coefficient directeur puis de l'ordonnée à l'origine si $x_A\neq x_B$):
Par exemple, dans ce cas, on a $x_A\neq x_B$ donc $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-1}{2}$
donc (AB): $y=\dfrac{-1}{2}x+p$
$A \in (AB) \Longleftrightarrow y_A=\dfrac{-1}{2}x_A+p \Longleftrightarrow 2=\dfrac{-1}{2}+p \Longleftrightarrow p=\dfrac{5}{2}$
donc l'équation réduite de (AB) est $y=\dfrac{-1}{2}x+\dfrac{5}{2}$
et on a $y=\dfrac{-1}{2}x+\dfrac{5}{2}\Longleftrightarrow 2y=-x+5\Longleftrightarrow -x-2y+5=0$

$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=-2-(-1)=-1 \\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=-1-3=-4 \\ \end{cases}$
$\overrightarrow{AB}(-1;-4)$
Attention aux calculs avec des signes $-$

Soit $M(x;y)$ un point de la droite $(AB)$.
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x+1 \\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y-3 \\ \end{cases}$
$\overrightarrow{AM}(x+1;y-3)$
$M\in (AB)$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$ colinéaires
$\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{AM}}- y_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{AM}}=0$
$\Longleftrightarrow -1(y-3)-(-4)(x+1)=0$
$\Longleftrightarrow -y+3+4x+4=0$
$\Longleftrightarrow 4x-y+7=0$
$4x-y+7=0$ est une équation cartésienne de (AB)

$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=2-2=0 \\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=-3-5=-8 \\ \end{cases}$
$\overrightarrow{AB}(0;-8)$

Soit $M(x;y)$ un point de la droite $(AB)$.
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-2 \\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y-5 \end{cases}$
$\overrightarrow{AM}(x-2;y-5)$
$M\in (AB)$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$ colinéaires
$\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{AM}}- y_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{AM}}=0$
$\Longleftrightarrow 0(y-5)-(-8)(x-2)=0$
$\Longleftrightarrow 8(x-2)=0$
$\Longleftrightarrow x-2=0$
$x-2=0$ est une équation cartésienne de (AB)
Remarque
On a ici $x_A=x_B$ donc (AB) est parallèle à l'axe des ordonnées et admet une équation de la forme $x=$ constante donc ici $x=x_A=2$
or $x=2 \Longleftrightarrow x-2=0$

$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=1+\sqrt{2}-1=\sqrt{2} \\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=2-\sqrt{2} \end{cases}$
$\overrightarrow{AB}(\sqrt{2};2-\sqrt{2} )$

Soit $M(x;y)$ un point de la droite $(AB)$.
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-1 \\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y-\sqrt{2} \end{cases}$
$\overrightarrow{AM}(x-1;y-\sqrt{2})$
$M\in (AB)$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$ colinéaires
$\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{AM}}- y_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{AM}}=0$
$\Longleftrightarrow \sqrt{2}(y-\sqrt{2})-(2-\sqrt{2})(x-1)=0$
$\Longleftrightarrow \sqrt{2}y-2-(2-\sqrt{2})x+2-\sqrt{2}=0$
$\Longleftrightarrow -(2-\sqrt{2})x+\sqrt{2}y-\sqrt{2}=0$
$\Longleftrightarrow (-2+\sqrt{2})x+\sqrt{2}y-\sqrt{2}=0$
$(-2+\sqrt{2})x+\sqrt{2}y-\sqrt{2}=0$ est une équation cartésienne de (AB)