1. Décomposer $84$ et $280$ en produit de facteurs premiers

    Décomposition en produit de facteurs premiers


    Tout nombre entier naturel peut se décomposer en un produit de facteurs premiers.
    Cette décomposition est unique (si on ne tient pas compte de l'ordre des facteurs).
    Méthode:
    -On divise le nombre par $2$ jusqu'à ce que ce ne soit plus possible
    -On divise par $3$ le nombre obtenu après les divisions par $2$ jusqu'à ce que ce ne soit plus possible
    - et ainsi de suite avec les nombres premiers pris dans l'ordre croissant.
    Décomposition de $84$:


    Décomposition de $280$:

  2. En déduire la décomposition de $84\times 280$ en facteurs premiers.

    Calculs avec les puissances


    $a$ et $b$ sont deux nombres réels et $n$ et $p$ deux entiers relatifs.
    - Produit
    $a^na^p=a^{n+p}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2^3\times 2^5=2^{3+5}=2^8$
    - Quotient
    $\dfrac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$ ($a\neq 0)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\dfrac{2^3}{2^5}=2^{3-5}=2^{-2}$
    - Inverse
    $\dfrac{1}{a^p}=a^{-p}$ ($a\neq 0)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\dfrac{1}{2^5}=2^{-5}$
    - Exposants
    $\left(a^n\right)^p=a^{np}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\left(2^3\right)^5=2^{3\times 5}=2^{15}$
    $84\times 280=(2^2\times 3\times 7)\times (2^3\times 5\times 7)$
    $\phantom{84\times 280}=2^2\times 2^3\times 3\times 5\times 7\times 7$
    $\phantom{84\times 280}=2^{2+3}\times 3\times 5\times 7^2$
    $\phantom{84\times 280}=2^{53}\times 3\times 5\times 7^2$

devoir nº 573


Vous pouvez retourner sur le devoir après avoir vu cet exercice

Nombres premiers et divsibilité

- utiliser les décompositions en facteurs premiers
- multiples d'un entier

infos cours

| 30mn