Soient $n$ et $n'$ deux entiers impairs
alors il existe $k\in \mathbb{Z}$ et $k'\in \mathbb{Z}$ tels que $n=2k+1$ et $n'=2k'+1$
$n+n'=2k+1+2k'+1=2k+2k'+2=2(k+k'+1)=2K$
avec $K=k+k'+1$ et donc $K\in \mathbb{Z}$
donc $n+n'$ est un entier pair.

Soit $n$ l'un des deux entiers et $n+1$ le suivant, l'un est pair et l'autre impair.
Supposons que $n$ est pair alors il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $n=2k$ et on a alors $n+1=2k+1$.
$n+n+1=2k+2k+1=4k+1=2(2k)+1=2K+1$ avec $K=2k$
donc $n+n+1$ est impair donc n'est pas divisible par $2$
donc la somme deux deux entiers consécutifs n'est pas divisible par $2$.

Premier cas $n$ est pair
donc il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $n=2k$
$n^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2)=2K$ avec $K=2k^2$ donc $K\in \mathbb{Z}$
donc $n^2$ est pair
donc si $n$ est pair alors $n^2$ est pair.
Deuxième cas $n$ impair
donc il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $n=2k+1$
$n^2=(2k+1)^2$
$~~~~=(2k)^2+2\times 2k\times 1+1^2$
$~~~~~=4k^2+4k+1$
$~~~~~=2(2k^2+2k)+1$
$~~~~~=2K+1$ avec $K=2k^2+2k$ et $K\in \mathbb{Z}$
donc $n^2$ est impair
donc le carré d'un entier impair est impair.