Exercice 291

Comparaison d'un carré et de la racine carrée

Contenu

-résolution graphique d'inéquations
-résolution d'inéquations
-comparaison d'un nombre, de son carré et de sa racine carrée
-application à la comparaison de trois réels

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Les fonctions $f$ . $g$ et $h$ sont définies sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x^2$, $g(x)=x$ et $h(x)=\sqrt{x}$.
On donne ci-dessous leurs représentations graphiques dans un repère orthogonal.
  1. Déterminer quelle courbe est associée à chacune des fonctions $f$, $g$ et $h$.
    $g$ est une fonction linéaire et la courbe dde la fonction carré est une parabole...
    $g$ est une fonction linéaire donc sa représentation graphique passe par l'origine et est une demi-droite($D=[0;+\infty[$).
    $f$ est la fonction carré donc sa représentation graphique est une "portion" de parabole.

    $C_1$, $C_2$ et $C_3$ sont les représentation graphiques respectives des fonctions $h$, $g$ et $f$.
  2. Résoudre graphiquement $\sqrt{x} < x$ puis $x^2 < x $.
    On cherche les abscisses des points de $C_1$ situés strictement en-dessous de $C_2$
    puis les abscisses des points de $C_3$ situés strictement en-dessous de $C_2$
    Graphiquement, les solutions de l'inéquation $\sqrt{x} < x$ (soit $h(x) < g(x)$) sont les abscisses des points de $C_1$ situés strictement en-dessous de $C_2$
    soit $x\in ]1;+\infty[$ (pointillés verts sur l'axe des abscisses)


    donc $\sqrt{x} < x$ sur $S_1=]1;+\infty[$

    Graphiquement, les solutions de l'inéquation $x^2 < x$ (soit $f(x) < g(x)$) sont les abscisses des points de $C_3$ situés strictement en-dessous de $C_2$
    soit $x\in ]0;1[$ (pointillés verts sur l'axe des abscisses)


    donc $x^2< x$ sur $S_2=]0;1[$
  3. Montrer que pour tout $x \geq 0$, $ \sqrt{x} < x \Longleftrightarrow \sqrt{x}(1-\sqrt{x}) < 0$
    et retrouver par le calcul les solutions de l'inéquation $\sqrt{x} < x $.
    On a $x=\sqrt{x}\times \sqrt{x}$
  4. Montrer que pour tout $x \geq 0$, $ x^2 < x \longleftrightarrow x(x-1) < 0$
    et retrouver par le calcul les solutions de l'inéquation $x^2< x $.
    Il faut factoriser par $x$ après avoir "passé" $x$ dans le membre de gauche.
  5. $\alpha$ est un réel appartenant à l'intervalle $]0;1[$.
    En utilisant les résultats précédents, comparer $\alpha$, $\sqrt{\alpha}$ et $\alpha^2$.
    Il faut utiliser les résultats des questions précédentes permettant de comparer $x$, $\sqrt{x}$ et $x^2$ et on a ici $0 < \alpha < 1$


 
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