Exercice 323

Nombre dérivé et fonction dérivée

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calcul du taux d'accroissement
recherche du nombre dérivé en un point
recherche du nombre dérivée en un pòint quelconque-fonction dérivée

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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-3x+1$.
  1. Montrer que $f$ est dérivable en $x_0=1$ et donner la valeur de $f'(2)$.
    Contrôler le résultat obtenu avec la calculatrice.
    Calculer $T_{h}=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$ (taux d'accroissement de $f$ entre 1 et $1+h$ pour tout réel $h\neq 0$
    Vérifier que la limite de de $T_{h}$ existe quand $h\longrightarrow 0$ et conclure
    Calcul du taux d'accroissement de $f$ entre 1 et $1+h$ pour tout réel $h\neq 0$:
    $T_{h}=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$
    $T_{h}=\dfrac{(1+h)^2-3(1+h)+1-(1^2-3+1)}{1+h-1}$
    $T_{h}=\dfrac{1+2h+h^2-3-3h+1+1}{h}$
    $T_{h}=\dfrac{h^2-h}{h}$
    $T_{h}=\dfrac{h(h-1)}{h}$
    $T_{h}=h-1$ Quand $h \longrightarrow 0$ on a $T_{h} \longrightarrow -1$

    $f$ est dérivable en $x_0=1$ et $f'(1)=-1$

    On peut noter aussi (avec la notation des limites):
    $\displaystyle \lim_{ h \rightarrow 0 }h-1=-1$
    Remarque La courbe représentative de la fonction $f$ admet une tangente de coefficient directeur $f'(1)=-1$ au point de la courbe de coordonnées $(1;f(1))$ soit au point $(1;-1)$
    \bigskip Avec la calculatrice, utiliser le menu TABLE, saisir la fonction $f$ dans Y1 puis afficher le tableau de valeurs de $f$ et de $f'$.\textit{(voir aussi fiche méthode CALCULATRICE: tableau de valeurs de la dérivée)}
    On obtient effectivement le résultat $f'(1)=-1$
  2. Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et donner l'expression de $f'(x)$ pour tout réel $x$.
    Calculer $T_{h}=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ (taux d'accroissement de $f$ entre $x$ et $x+h$ pour tout réel $h\neq 0$
    Vérifier que pour tout réel $x$, la limite de de $T_{h}$ existe quand $h\longrightarrow 0$ et conclure


 
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