Exercice 336

Calculs divers de dérivées

Contenu

- dérivées usuelles
- utilisation des formules dérivation

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Dans chaque cas, on donne la fonction $f$ dérivable sur $I$ et on demande de calculer $f'(x)$
  1. Avec les dérivées usuelles: $f(x)=2x^2-\dfrac{5}{x^2}$ avec $I=\mathbb{R}^*$
    $f$ est la somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}^*$
    On dérive donc "terme à terme" et on a $\dfrac{5}{x^2}=5\times \dfrac{1}{x^2}$
    $f(x)=2x^2-\dfrac{5}{x^2}=2x^2-5\times \dfrac{1}{x^2}$
    $f'(x)=2\times 2x-5\times \dfrac{-2}{x^3}$
    $\phantom{f'(x)}=4x+\dfrac{10}{x^3}$

    $f'(x)=4x+\dfrac{10}{x^3}$

    Penser à contrôler avec la calculatrice
  2. Quotient avec une constante au numérateur: $f(x)=\dfrac{5}{x^2+3}$ avec $I=\mathbb{R}$
    $\dfrac{5}{x^2+3}=5\times \dfrac{1}{x^2+2}$
    $(ku)'=ku'$ ($k \in \mathbb{R}$) donc on doit finalement dériver $\dfrac{1}{x^2+2}$
  3. Produit de deux fonctions: $f(x)=3x^2\sqrt{x}$ avec $I=]0;+\infty[$
    On pose $u(x)=3x^2$ et $v(x)=\sqrt{x}$
  4. Quotient de deux fonctions: $f(x)=\dfrac{2-3x}{x^2+2}$ avec $I=\mathbb{R}$
    On pose $u(x)=2-3x$ et $v(x)=x^2+2$


 
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