Exercice 446

Déterminer des pourcentages d'évolutions successives

Contenu

- déterminer deux pourcentages d'évolutions successives
- équation du second degré permettant de trouver ce pourcentage
- déterminer les évolutions successives équivalentes lorqu'elles sont identiques

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Une entreprise a un chiffre d'affaire de $20 000 $ euros au mois d'octobre.
  1. Ce chiffre d'affaire augmente de $x$% au mois de novembre puis de $x+4$% au mois de décembre et est alors de 21624 euros.
    Calculer le pourcentage d'évolution du chiffre d'affaire entre octobre et novembre puis entre novembre et décembre.
    Augmenter le chiffre d'affaire de $x$% revient à le multiplier par $1+\dfrac{x}{100}$
    Augmenter le chiffre d'affaire de $x+4$% revient à le multiplier par $1+\dfrac{x+4}{100}$
    Augmenter le chiffre d'affaire de $x$% revient à le multiplier par $1+\dfrac{x}{100}$
    Augmenter le chiffre d'affaire de $x+4$% revient à le multiplier par $1+\dfrac{x+4}{100}$
    On a donc multiplié le chiffre d'affaire d'octobre par $\left(1+\dfrac{x}{100}\right)\left(1+\dfrac{x+4}{100}\right)$
    On a donc $20000\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)\left(1+\dfrac{x+4}{100}\right)=21624$
    $\phantom{\Longleftrightarrow} 20000\times \left(1+\dfrac{x}{100}+\dfrac{x+4}{100}+\dfrac{x(x+4)}{10000}\right)=21624$
    $\Longleftrightarrow 20000+200x+200(x+4)+2x(x+4)=21624$
    $\Longleftrightarrow 20000+200x+200x+800+2x^2+8x=21624$
    $\Longleftrightarrow 20800+408x+2x^2=21624$
    $\Longleftrightarrow 2x^2+408x+20600-21624=0$
    $\Longleftrightarrow 2x^2+408x+824=0$
    $\Delta=b^2-4ac=408^2-4\times 2\times (-824)=173056$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines
    $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-408 + 416 }{4 }=2$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ -408- 416 }{4 }=-206$
    Le pourcentage $x$ est positif puisqu'il y a augmentation donc $x=2$%

    Le chiffre d'affaire a augmenté de 2% en novembre et de 6% en décembre.
  2. Quel aurait du être le pourcentage d'augmentation, arrondi aux dixièmes, entre chaque mois si celui-ci avait été le même entre octobre et novembre et entre novembre et décembre?
    Déterminer le coefficient multiplicteur correspondant à augmentation de $t$%


 
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