Exercice 524

Suite définie par une relation de récurrence-calcul des premiers termes

Contenu

- calcul des premiers termes d'une suite définie par une relation de récurrence
- expression de un en fonction de un-1
- utilisation de la calculatrice pour calculer des termes

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La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\dfrac{u_n+2}{u_n^2+1}$ et $u_0=1$
  1. calculer $u_1$
    Il faut remplacer $n$ par la valeur 0 pour calculer $u_1$ dans la relation donnée dans l'énoncé.
    $u_{n+1}=\dfrac{u_n+2}{u_n^2+1}$ et en prenant $n=0$, on a:
    $u_{0+1}=\dfrac{u_0+2}{u_0^2+1}$ et on donne $u_0=1$
    donc $u_1=\dfrac{1+2}{1^2+1}=\dfrac{3}{2}$

    $u_1=\dfrac{3}{2}$
  2. calculer $u_2$
    $u_{n+1}=\dfrac{u_n+2}{u_n^2+1}$ et en prenant $n=1$, on a:
    $u_{1+1}=\dfrac{u_1+2}{u_1^2+1}$ et on donne $u_1=\dfrac{3}{2}$
    $u_1=\dfrac{\dfrac{3}{2}+2}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+1}$
    $\phantom{u_1}=\dfrac{\dfrac{3+4}{2}}{\dfrac{9}{4}+1}$
    $\phantom{u_1}=\dfrac{\dfrac{7}{2}}{\dfrac{9+4}{4}}$
    $\phantom{u_1}=\dfrac{\dfrac{7}{2}}{\dfrac{13}{4}}$
    $\phantom{u_1}=\dfrac{7}{2}\times \dfrac{4}{13}$
    $\phantom{u_1}=\dfrac{28}{26}$
    $\phantom{u_1}=\dfrac{14}{13}$

    $u_1=\dfrac{14}{13}$
  3. La suite $(u_n)$ est-elle définie par récurrence ou sous forme explicite?
    Une suite est définie par récurrence si pour tout entier naturel $n$, pour calculer $u_n$ il faut calculer tous les termes précédents
  4. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $u_{n-1}$.
    Il faut remplacer $n$ par $n-1$ dans la relation définissant $u_n$
  5. Avec la calculatrice, déterminer $u_{20}$ arrondi aux millièmes.
    Il faut utiliser le MENU RECUR et TYPE $a_{n+1}$ (suite définie par une relation de récurrence).


 
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