Exercice 723

Bénéfice moyen

Contenu

- loi de probabilité
- espérance d'une variable aléatoire
- interprétation et utilisation du résultat

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Une usine fabrique des assiettes et les produits ayant un défaut sont vendus directement à l'usine avec une remise.
Le prix de vente des assiettes sans défaut est de 7 euros pièce.
Les assiettes mises en vente sont classées en trois catégories:
- L: l'assiette a un léger défaut et on fait une remise de 20%
-M: l'assiette a un défaut moyen et on fait une remise de 50%
- I: l'assiette a un défaut important et on fait une remise de 70%
On a constaté que parmi les pièce ayant un défaut, la probabilité d'avoir un léger défaut est 0,6 et celle d'avoir un défaut moyen est 0,25.
  1. Calculer la probabilité qu'une assiette mise en vente directement à l'usine ait un défaut important.
    On doit avoir $p(L)+p(M)+p(I)=1$
    La somme des probabilités doit être égale à 1
    donc $p(L)+p(M)+p(I)=1$
    et $p(I)=1-p(L)-p(M)=1-0,6-0,25=0,15$

    La probabilité que la pièce ait un défaut important est $p(I)=0,15$.
  2. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au prix de vente d'une assiette.
    Quelles sont les valeurs prises par $X$?
    Diminuer le prix de 20% revient à le multiplier par $1-\dfrac{20}{100}=0,8$
    et donc le prix de vente est alors de $7\times 0,8=5,6$ euros.
    Diminuer le prix de 50% revient à le multiplier par $1-\dfrac{50}{100}=0,5$
    et donc le prix de vente est alors de $7\times 0,5=3,5$ euros.
    Diminuer le prix de 70% revient à le multiplier par $1-\dfrac{70}{100}=0,3$
    et donc le prix de vente est alors de $7\times 0,3=2,1$ euros.

    donc $X$ peut prendre les valeurs 5,6, 3,5 et 2,1.
  3. Etablir la loi de probabilité de $X$.
    Présenter les résultats dans un tableau avec en première ligne les prix de vente et en seconde ligne les probabilités correspondantes
  4. Calculer alors l'espérance de la variable aléatoire $X$ et en donner la signification.
  5. Au mois de décembre, il y a eu 5200 assiettes vendues.
    Le coût de fabrication d'une assiette est de 3,1 euros.
    Calculer le bénéfice fait sur ces ventes au mois de décembre.
    Le prix moyen pour chaque vente est de 4,55 euros...
    rappel: les bénéfices correspondent aux recettes diminuées des cout de fabrication.


 
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