Exercice 732

Répétions d'épreuves indépendantes (trois répétitions)

Contenu

- justifier l'indépendance des événements répétés
- arbre pondéré
- calculs de probabilités dans le cas de deux répétitions
- calculs de probabilités avec trois répétitions
- probabilité de l'événement au moins un....

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On tire au hasard deux fois successivement et avec remise une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes (contenant donc 4 as).
On note $A$ l'événement "obtenir un as" et $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'as obtenus après ces deux tirages.
  1. Les deux tirages sont-ils indépendants?
    Les tirages sont indépendants si on est dans la même situation à chaque tirage.
    On remet la carte dans le paquet après le premier tirage donc on se trouve dans la même situation à chaque tirage.

    donc chaque tirage est indépendant de l'autre.
  2. Construire un arbre pondéré schématisant les 4 tirages possibles.
    Chaque niveau de l'arbre correspond à un tirage et il y a 4 possibilités sur 32 d'obtenir un as.
    On a 4 as sur 32 cartes donc $p(A)=\dfrac{4}{32}=0,125$
  3. Calculer la probabilité d'obtenir 2 as.
    On veut obtenir $AA$
  4. Calculer la probabilité de tirer un as puis une seconde carte différente d'un as.
    On veut obtenir la liste $A\overline{A}$
  5. Calculer $p(X=1)$.
    $X$ est la variable aléatoire donnant le nombre d'as obtenus avec ces deux tirages donc $X=1$ signifie que l'on a obtenu un as sur les deux cartes tirées.
  6. On tire maintenant trois cartes successivement avec remise.
    Rappel: $X$ donne le nombre d'as obtenus
    Calculer la probabilité d'obtenir la liste $A\overline{A}A$ arrondie aux millièmes.
  7. Calculer la probabilité de n'obtenir aucun as et en déduire la probabilité d'obtenir au moins un as arrondie aux centièmes.
    Obtenir aucun as s'écrit $X=0$
    Obtenir au moins un as est le contraire de l'événement obtenir aucun as soit $p(X\geq 1)=1-p(X=0)$


 
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