Exercice 743

Loi binomiale et probabilités

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- justifier qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale
- calculs de probabilités avec la loi binoimiale

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Dans un magasin de vente de matériel informatique, on a vendu 10 ordinateurs portables le même jour.
Ces ordinateurs sont garantis 2 ans et on a constaté que 5% des ordinateurs vendus tombaient en panne pendant la période de garantie.
On note $X$ le nombre d'ordinateur qui tombent en panne pendant la garantie parmi les 10 vendus.
  1. Justifier que la loi de probabilité de $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    Déterminer l'épreuve de Bernouilli répétée et les issues possibles ainsi que la probabilité de chacune des issues.
    Vérifier l'indépendance de ces épreuves
    Conclure
    On considère l'épreuve de Bernouilli consistant à prendre au hasard un ordinateur avec les issues possibles $P$: "l'ordinateur tombe en panne pendant la garantie" et $\overline{P}$.
    On a alors $p(P)=\dfrac{5}{100}=0,05$
    Chaque ordinateur fonctionne de manière indépendante et on répète 10 fois successivement cette épreuve de Bernouilli.
    La variable aléatoire $X$ donnant le nombre d'ordinateurs en panne suit donc une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,05$ notée $\mathcal{B}(10;0,05)$.

    $X$ suit la loi $\mathcal{B}(10;0,05)$
  2. Calculer la probabilité, arrondie aux centièmes, que 3 ordinateurs sur les dix tombent en panne.
    On veut $X=3$ soit trois ordinateurs en panne
    Il faut utiliser les coefficients binomiaux
  3. Calculer la probabilité, arrondie aux millièmes, qu'au moins un des ordinateurs tombe en panne.
    On veut au moins un ordinateur en panne soit $X\geq 1$
    Or $X\geq 1$ est le contraire de $X< 1$ soit $X=0$ (aucun ordinateur en panne)


 
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