Exercice 745

Loi binomiale et probabilités-réponses à un QCM

Contenu

- justifier qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale
- calculs de probabilités avec la loi binomiale

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Dans un sujet de BAC, il y a un QCM (questionnaire à choix multiple), pour chaque question il y a une seule bonne réponse parmi les quatre proposées.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de bonne réponses sur l'ensemble du questionnaire.
  1. Le QCM comporte 5 questions et un candidat répond au hasard à ces 5 questions.
    Déterminer la probabilité, arrondie aux centièmes, qu'il réponde correctement à deux des cinq questions.
    Il faut d'abord déterminer la loi de probabilité de $X$
    Déterminer l'épreuve de Bernouilli répétée et les issues possibles ainsi que la probabilité de chacune des issues.
    Vérifier l'indépendance de ces épreuves
    Conclure
    On veut ensuite calculer $p(X=2)$
    On considère l'épreuve de Bernouilli consistant à répondre à une question au hasard avec les issues possibles $S$ "la réponse est juste " et "$\overline{S}$ "la réponse est fausse".
    Il y a une seule bonne réponse parmi les quatre proposées donc on a alors $p(S)=\dfrac{1}{4}=0,25$
    On répète cette épreuve de Bernouilli 5 fois successivement et chaque question est indépendante des autres.
    La loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de bonnes réponses suit donc une loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,25$ notée $\mathcal{B}(5;0,25)$.
    On veut calculer $p(X=2)$.
    $p(X=2)=\begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix}\times 0,25^2\times (1-0,25)^3=10\times 0,25^2\times 0,75^3\approx 0,26$

    La probabilité qu'il réponde correctement à deux questions est $p(X=2)\approx 0,26$.
  2. L'exercice comporte maintenant 8 questions.
    Calculer la probabilité, arrondie aux centièmes, qu'il réponde au moins à deux questions correctement.
    On veut calculer $p(X\geq 2)=1-p(X<2)$


 
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