Exercice 748

Loi binomiale et calculs de probabilités-utilisation de la calculatrice

Contenu

- justifier qu'une variable aléatoire suit un e loi binomiale
- calculs divers de probabilités avec la loi binomiale
- utilisation de la calculatrice

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Une usine fabrique des montres en série.
Deux types de défauts peuvent apparaître de manière indépendante au cours de la fabrication:
- défaut $a$ pour 2% des montres fabriquées
- défaut $b$ pour 10% des montres fabriquées
Une montre est prise au hasard dans la production et on définit les événements suivants:
$A$: "la montre tirée présente le défaut $a$"
$B$: "la montre tirée présente le défaut $b$"
  1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
    les deux défauts sont indépendants et chaque niveau de l'arbre correspond à un type de défaut
    Les défauts $a$ et $b$ sont indépendants et on a $p(A)=\dfrac{2}{100}=0,02$ et $p(B)=\dfrac{10}{100}=0,1$
  2. On prélève successivement cinq montres au hasard au cours de la fabrication et on considère que le nombre de montres produites est suffisamment grand pour assimiler ce tirage de cinq montres à un cinq tirages successifs avec remise.
    On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de montres ne présentant aucun défaut.
    On arrondira les résultats à $10^{-3}$ près.
    1. Calculer la probabilité de n'avoir qu'une seule montre avec un défaut.
      il faut d'abord faire la rédaction justifiant que l'on peut appliquer le loi binomiale
      $X$ donne le nombre de montres sans défaut donc $S$ (succès) sera l'événement "la montre n'a aucun défaut"
      On considère l'expérience aléatoire consistant à prélever une montre au hasard dans la production avec les issues $S$:" la montre n'a aucun défaut" et $E=\overline{S}$: " la montre a au moins un défaut" (épreuve de Bernouilli).
      On a alors $p(S)=p(\overline{A}\cap \overline{B})=0,98\times 0,9=0,882$ et $p(E)=1-p(S)=0,118$
      On considère que le nombre de montres produites est suffisamment grand pour assimiler ce tirage de cinq montres à un cinq tirages successifs avec remise donc ces expériences aléatoires sont indépendantes.
      On répète donc ces 5 expérience aléatoire de manière indépendante (schéma de Bernouilli) et la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de succès (nombre de montres sans défaut) parmi les cinq suit une loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,882$ notée $\mathcal{B}(5;0,882)$.

      On veut une seule montre avec un défaut soit 4 montres sans défaut donc on veut calculer $p(X=4)$
      $p(X=4)=\begin{pmatrix} 5\\ 4 \end{pmatrix}\times p(S)^4\times p(E)^1$
      $\phantom{p(X=4)}=5\times (0,882)^4\times 0,118$
      $\phantom{p(X=4)}\approx 0,357$

      La probabilité de n'avoir qu'une seule montre avec un défaut est $p(X=4)\approx 0,357$.

      Rappel calculatrice (voir fiche méthode calculatrice et loi binomiale)
      - Pour calculer $\begin{pmatrix} 5\\ 4 \end{pmatrix}$, on utilise OPTION puis PROB puis nCr en saisissant 5nCr4
      - On peut calculer $p(X=4)$ directement avec MENU STAT puis DIST puis BIN puis Bpd.
    2. Calculer la probabilité d'avoir au moins quatre montres sans défaut.
      On veut $X\geq 4$ soit $X=4$ ou bien $X=5$
    3. Calculer la probabilité d'avoir moins de 3 montres sans défaut.
      On veut $X\leq 3$ et on peut utiliser alors la calculatrice et Bcd
    4. Calculer la probabilité d'avoir entre 1 et 4 montres sans défaut.
      On veut $1\leq X\leq 4$ soit tous les cas possibles sauf $X=0$ et $X=5$


 
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