Exercice 753

Intervalle de fluctuation-prise de décision

Contenu

- justifier qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale
- déterminer l'intervalle de fluctuation avec la calculatrice
- prise de décision avec cet intervalle

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Un laboratoire pharmaceutique affirme que 10% des personnes utilisant son traitement contre l'hypertension sont allergiques à ce traitement.
On interroge 150 personnes au hasard prenant ce traitement et 20 d'entre-elles sont allergiques à ce traitement.
On suppose que le nombre de personnes prenant ce traitement est suffisamment grand pour assimiler ceci à des tirages successifs avec remise.
Cette enquête est-elle conforme avec l'affirmation du laboratoire?
Identifier le schéma de Bernouilli et préciser la variable aléatoire utilisée
Déterminer l'intervalle de fluctuation permettant la prise de décision
On considère l'épreuve de Bernouilli consistant à prendre une personne au hasard avec les issues $S$: "la pièce est allergique au traitement " et $E=\overline{S}$:"la personne n'est pas allergique au traitement" avec $p(S)=\dfrac{10}{100}=0,1$ et $p(E)=1-\dfrac{10}{100}=0,9$.
On choisit successivement 150 personnes au hasard.
On suppose que le nombre de personnes prenant ce traitement est suffisamment grand pour assimiler ceci à des tirages successifs avec remise donc indépendants.
La variable aléatoire $X$ donnant le nombre de personnes allergiques à ce traitement (nombre de succès $S$) suit la loi binomiale de paramètres 150 et 0,1 notée aussi $\mathcal{B}(150;0,1)$.

$X$ suit la loi $\mathcal{B}(150;0,1)$


Recherche de l'intervalle de fluctuation:
On peut générer avant une liste des entiers allant de 0 à 150 (OPTION LIST puis Seq).
On calcule ensuite les probabilités $p(X\leq k)$ pour $k$ variant de 0 à 150 (DIST puis BINM puis Bcd) en utilisant les données de la liste 1 et en sauvegardant les résultats dans la liste 2.
(voir fiche méthode calculatrice)

Le plus petit entier $a$ tel que $p(X\leq a)<0,025$ est donc $a=8$ et le plus petit entier $b$ tel que $p(X\leq b)\leq 0,975$ est $b=23$.
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95% est donc $I_F=[\dfrac{8}{150};\dfrac{23}{150}]$ avec $\dfrac{8}{150}\approx 0,053$ et $\dfrac{23}{150}\approx 0,153$.

$I_F=[\dfrac{8}{150};\dfrac{23}{150}]$


Prise de décision:
On considère l'hypothèse: " 10% des personnes utilisant le traitement sont allergiques à celui-ci"
La fréquence observée dans l'échantillon des 150 personnes est $f=\dfrac{20}{150}\approx 0,133$
$f \in I_F$ donc on peut accepter l'hypothèse faite par le laboratoire au seuil de confiance de 95%.

On peut donc accepter l'affirmation du laboratoire au seuil de confiance de 95%


 
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