Exercice 792

Exercice adapté BAC ES Amérique du nord 2012

Contenu

- tableau à double entrée
- calculs de probabilités
- valeurs prises par une variable aléatoire
- loi de probabilité
- espérance et interprétation

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Un restaurateur propose trois formules à midi.
- Formule $A$ : Plat du jour/Dessert/Café
- Formule $B$ : Entrée/Plat du jour/Dessert/Café
- Formule $C$ : Entrée/Plat du jour/Fromage/Dessert/Café
Lorsqu'un client se présente au restaurant pour le repas de midi, il doit choisir une des trois formules proposées et commander ou non du vin.
Le restaurateur a constaté qu'un client sur cinq choisit la formule $A$, tandis qu'un client sur deux choisit la formule $B$.
On sait aussi que :
- Parmi les clients qui choisissent la formule $A$, une personne sur quatre commande du vin.
- Parmi les clients qui choisissent la formule $B$, deux personnes sur cinq commandent du vin.
- Parmi les clients qui choisissent la formule $C$, deux personnes sur trois commandent du vin.
Un client se présente au restaurant pour le repas du midi. On considère les évènements suivants :
- A : " Le client choisit la formule $A$"
- B : " Le client choisit la formule $B$"
- C : " Le client choisit la formule $C$"
- V : " Le client commande du vin "
Si $A$ et $B$ désignent deux évènements d'une même expérience aléatoire, alors on notera $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$, $p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$, et $p_A(B)$ la probabilité de l'évènement $B$ sachant que $A$ est réalisé.
  1. Calculer $p(C)$.
    On a $p(A)+p(B)+p(C)=1$
    $p(A)+p(B)+p(C)=1$
    Le restaurateur a constaté qu'un client sur cinq choisit la formule $A$ donc $p(A)=\dfrac{1}{5}=0,2$
    et un client sur deux choisit la formule $B$ donc $p(B)=\dfrac{1}{2}=0,5$.
    $p(C)=1-p(A)-p(B)=1-0,2-0,5=0,3$

    La probabilité que le client choisisse la formule $C$ est $p(C)=0,3$
  2. Compléter le tableau à double entrée ci-dessous:

    Parmi les clients qui choisissent la formule $A$ c'est à dire parmi $\dfrac{100}{5}=20$ personnes, une personne sur quatre commande du vin soit $\dfrac{1}{4}$ de 20.
    une personne sur 5 choisit la formule $A$ soit $\dfrac{100}{5}=20$ personnes.
    Parmi les clients qui choisissent la formule $A$, une personne sur quatre commande du vin soit $\dfrac{20}{4}=5$
    une personne sur deux choisit la formule $B$ soit $\dfrac{100}{2}=50$.
    Parmi les clients qui choisissent la formule $B$, deux personnes sur cinq commandent du vin soit $\dfrac{50\times 2}{5}=20$ personnes.
    $100-50-20=30$ personnes choisissent la formule $C$.
    Parmi les clients qui choisissent la formule $C$, deux personnes sur trois commandent du vin soit $\dfrac{30\times 2}{3}=20$ personnes.

  3. Calculer $p(V)$.
    Il faut déterminer le nombre total de personnes ayant pris du vin quelque soit le menu choisi.
  4. Le client commande du vin. Calculer la probabilité qu'il ait choisi la formule $A$.
    On choisit un client parmi les 45 clients ayant pris du vin.
  5. La formule $A$ coûte $8$ euros, la formule $B$ coûte $12$ euros et la formule $C$ coûte $15$ euros. Le vin est en supplément et coûte $3$ euros.
    On note $D$ la dépense en euro d'un client venant manger le midi au restaurant.
    1. Déterminer la loi de probabilité de $D$.
      Il faut déterminer les valeurs prises par $D$ dans les six cas possibles.
    2. Calculer la dépense moyenne par client en euro.


 
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