Exercice 796

Calcul de probabilités avec la loi binomiale

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Sujet "adapté" BAC ES 2013.
Une entreprise de 36 salariés est constituée d'apprentis, d'ouvriers et de cadres.
Parmi ces personnes, 22 sont des hommes dont 18 ouvriers et 3 cadres, 6 femmes sont cadres et une est apprentie. Dans cette société, on travaille 5 jours par semaine.
Les résultats seront donnés suivant le cas, soit sous forme de fraction irréductible, soit sous forme décimale arrondie à $10^{- 3}$ près par défaut, soit en écriture scientifique.
  1. Tous les matins, une personne choisie au hasard est interrogée sur ses conditions de travail.
    Calculer la probabilité pour que, un jour donné, la personne interrogée soit :
    1. un apprenti ;
      Il faut déterminer le nombre total d'apprentis
      Parmi les personnes, 22 sont des hommes dont 18 ouvriers et 3 cadres soit un total de 21 sur les 22 hommes.
      donc il y a 1 apprenti parmi les hommes.
      Parmi ces personnes, 6 femmes sont cadres et une est apprentie.
      Il y a donc au total 2 apprentis sur 36 salariés.
      Si on note $A$ l'événement "le salarié est un apprenti", on a donc $p(A)=\dfrac{2}{66}=\dfrac{1}{33}$

      La probabilité que le salarié soit un apprenti est $p(A)=\dfrac{1}{33}\approx 0,030$.
    2. un cadre, sachant que c'est un homme ;
      Il faut déterminer le nombre de cadres parmi les hommes.
      Il y a 3 cadres parmi les 22 hommes donc la probabilité que ce soit un cadre sachant que c'est un homme est $\dfrac{3}{22}\approx 0,136$

      La probabilité que ce soit un cadre sachant que c'est un homme est $\dfrac{3}{22}\approx 0,136$.
  2. Afin de connaître le sentiment du personnel sur le passage aux 35 heures, on interroge tous les matins 4 personnes choisies au hasard.
    Chaque tirage journalier est indépendant de ceux des jours précédents.
    1. Montrer que la probabilité pour qu'un jour donné un salarié fasse partie du groupe des personnes interrogées est égale à $\frac{1}{9}$ .
      On interroge 4 personnes parmi les 36 salariés.
    2. On rappelle que dans cette société, on travaille 5 jours par semaine.
      On note $N$ la variable aléatoire donnant le nombre de fois ou un même salarié est interrogé en deux semaines.
      On considère que les choix successifs des groupes de 4 personnes sont 2 à 2 indépendants.
    3. Montrer que $N$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
      Identifier l'épreuve de Bernouilli répétée et les deux issues possibles ainsi que leur probabilité
      Définier la variable aléatoire correspondante
      Donner les paramètres de la loi binomiale suivie par $X$
    4. Quelle est la probabilité pour qu'un même salarié soit interrogé au moins une fois en 2 semaines ?
      On veut donc $N\geq 1$ qui est le contraire de $N<1$ soit $N=0$


 
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