Exercice 797

Ex BAC ES 2013 Antilles sujet de septembre

Contenu

- arbre pondéré
- calculs de probabilités avec l'arbre pondéré
- loi binomiale: justifier une loi binomiale et calculer une probabilité
- variable aléatoire du bénéfice et espérance

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Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.
Deux roues sont disposées sur le stand d'un forain. Elles sont toutes deux partagées en 10 secteurs identiques.
La première comporte 5 secteurs rouges, 3 bleus et 2 verts.
La deuxième comporte 7 secteurs noirs et 3 jaunes.
Quand on fait tourner une de ces deux roues, un repère indique, lorsqu'elle s'arrête, un secteur. Pour chacune des deux roues, on admet que les 10 secteurs sont équiprobables.
Le forain propose le jeu suivant : on fait tourner la première roue et, lorsqu'elle s'arrête, on considère la couleur du secteur indiqué par le repère.
- Si c'est le rouge, le joueur a perdu et la partie s'arrête.
- Si c'est le bleu, la partie continue; le joueur fait tourner la deuxième roue : si le repère indique un secteur jaune, le joueur a gagné un lot et s'il indique un secteur noir, le joueur a perdu.
- Si c'est le vert, la partie continue ; le joueur fait tourner la deuxième roue : si le repère indique un secteur noir, le joueur a gagné un lot et s'il indique un secteur jaune, le joueur a perdu.
Partie A
Le joueur fait une partie.
On note les évènements suivants :
$R$ : " Le repère de la première roue indique la couleur rouge " ; $B$ : " Le repère de la première roue indique la couleur bleue " ; $V$ : " Le repère de la première roue indique la couleur verte " ; $N$ : " Le repère de la deuxième roue indique la couleur noire " ; $J$ : " Le repère de la deuxième roue indique la couleur jaune " ; $G$ : " Le joueur gagne un lot ".
  1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
    Les deux roues sont indépendantes l'une de l'autre.
    On peut construire un arbre à deux niveaux correspondant à la première partie (trois issues possibles) puis à la seconde partie.
    Calcul des probabilités pour la première roue
    $p(R)=\dfrac{5}{10}=0,5$
    $p(B)=\dfrac{3}{10}=0,3$
    $p(V)=\dfrac{2}{10}=0,2$

    Calcul des probabilités pour la deuxième roue
    $p(N)=\dfrac{7}{10}=0,7$
    $p(J)=\dfrac{3}{10}=0,3$

    On a donc:
  2. Calculer la probabilité $p(B \cap J)$ et donner sa signification.
    On veut le parcours $B$ et $J$ sur l'arbre.
    $B \cap J$ est l'événement "le joueur obtient un secteur bleu et un jaune".
    Il y a un parcours sur l'arbre correspondant à cette situation.

    $p(B\cap J)=0,3\times 0,3=0,09$

    La probabilité d'obtenir un secteur bleu et un jaune est $p(B\cap J)=0,09$.
  3. Démontrer que la probabilité $P(G)$ que le joueur gagne un lot est égale à $0,23$.
    Il faut identifier les parcours sur l'arbre permettant de gagner un lot.

Partie B
Un joueur fait quatre parties successives et indépendantes. On rappelle que la probabilité de gagner un lot est égale à $0,23$.
  1. On note $X$ le nombre de parties permettant de gagner un lot.
    Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    Identifier l'épreuve de Bernouilli répétée et les deux issues possibles ainsi que leur probabilité
    Vérifier que ces épreuves sont indépendantes et déterminer le nombre de répétitions Donner les paramètres de la loi binomiale suivie par $X$
  2. Déterminer la probabilité, arrondie aux centièmes, que ce joueur gagne un seul lot sur ces quatre parties.
    On veut donc $X=1$

Partie C (remplace la loi normale dans le sujet original)
Le joueur gagne 5 fois sa mise s'il obtient un secteur bleu puis jaune et 3 fois sa mise s'il obtient un secteur vert puis noir.
On note $x$ la mise du joueur et $G$ le bénéfice du joueur.
Etablir la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
Calculer son espérance.
Le jeu est-il favorable au joueur?
Identifier les valeurs possibles de $G$ et les parcours sur l'arbre pour chaque cas.
Par exemple, si le joueur ne gagne aucun lot, il aura un bénéfice de $-x$ euros.


 
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