Exercice 798

Lois binomiales successives

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- justifier une loi binomiale
- calculs de probabilités et calculatrice
- seconde loi binomiale utilisant les résultats précédents

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Une usine fabrique des rouleaux de tissu qui sont livrés par camion de 100 rouleaux.
La probabilité pour qu'un rouleau soit défectueux est 0,03.
On suppose que le nombre de rouleaux fabriqués est suffisamment grand pour assimiler le choix des 100 rouleaux à des tirages successifs avec remise dans le stock de rouleaux.
On note $X$ la variable aléatoire prenant comme valeurs le nombre de rouleaux défectueux dans le camion de livraison.
  1. Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    L'espérance correspond à la moyenne des valeurs prises par $X$
    $E(X)=np=100\times 0,03=3$

    Il y a aura en moyenne 3 rouleaux défectueux par camion de livraison.
  2. Calculer les probabilités suivantes à $0,001$ près.
    $E$: "le camion ne contient un rouleau défectueux"
    $G$: "le camion ne contient 2 rouleaux défectueux"
    $H$: "le camion contient au moins un rouleau défectueux"
    On veut successivement $X=0$, $X=1$, $X=2$ puis $X\geq 1$
    Pour l'événement $H$, penser à utiliser l'événement contraire
  3. Un camion effectue une livraison de 100 rouleaux chaque semaine pendant 40 semaines.
    Calculer la probabilité qu'il y ait 5 livraisons contenant au moins un rouleau défectueux.
    On considère une variable aléatoire $Y$ donnant le nombre de semaines avec une livraison contenant au moins un rouleau défectueux.


 
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