Exercice 221

Fonction racine carrée

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Variations de la fonction racine carrée-application à une inégalité

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  1. Restituer le cours Montrer que la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x}$ est croissante sur $[0;+\infty[$
    Pour montrer que $f$ est croissante sur un intervalle I, il faut montrer que pour tous rées $x_1$ et $x_2$ de I, on a:
    $x_1
    Pour tous réels $x_1$ et $x_2$ positifs tels que $x_1 On veut comparer $f(x_2)$ et $f(x_1)$ donc on peut étudier le signe de la différence $f(x_2)-f(x_1)$
    $f(x_2)-f(x_1)=\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}$
    on multiplie par l'expressions conjuguée de $\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}$ soit $\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}$ et $\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}\neq 0$ car $x_2>x_1\geq 0$ donc on obtient:
    $f(x_2)-f(x_1)=\dfrac{(\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1})(\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1})}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}=\dfrac{x_2-x_1}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}$
    $x_2>x_1$ donc $x_2-x_1>0$ et $\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}>0$
    donc $f(x_2)-f(x_1)>0$ soit $f(x_2)>f(x_1)$

    $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$
  2. Appliquer le cours Montrer que pour tout réel $x$ positif, $\sqrt{x^2+1}\geq \sqrt{2x}$
    Développer $(x+1)^2$
    En remarquant que $(x+1)^2$ est strictement positif, justifier que $x^2+1>2x$ pour tout réel $x$ positif.
    Utiliser les variations de la fonction racine carrée pour comparer $\sqrt{x^2+1}$ et $ \sqrt{2x}$


 
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