Exercice 224

Comparaison d'un nombre, de son carré et de sa racine carrée

Contenu

- démonstrations du cours: comparaison d'un nombre, de son carré et de sa racine carrée
- application à la comparaison de trois expressions

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  1. Démonstration du cours: Montrer que $x^2\geq x$ pour tout réel $x\geq 1$ et que $x^2\leq x$ pour tout réel $x\in[0;1]$
    Pour comparer deux nombres, on peut étudier le signe de leur différence.
    Pour étudier le signe d'une expression, il faut réduire au même dénominateur ou bien factoriser
    Pour tout réel $x\geq 0$, on a:
    $x^2-x=x(x-1)$
    Or $x\geq 0$ donc $x(x-1)$ est du même signe que $x-1$.
    $x-1\leq 0 $ si $x\in[0;1]$ et $x-1\geq 0$ si $x\geq 1$

    donc $x^2\geq x$ pour $x\geq 1$ et $x^2\leq x$ pour $x\in[0;1]$
  2. Montrer que $\sqrt{x} \geq x$ pour $x\in[0;1]$ et que $\sqrt{x}\leq x$ pour $x\geq 1$.
    On pourra utiliser l'expression conjuguée de $\sqrt{x}-x$.
    On peut étudier le signe de $\sqrt{x}-x$
    L'expression conjuguée de $\sqrt{x}-x$ est $\sqrt{x}+x$
  3. Application 1: Comparer $\dfrac{\pi}{2}-1$, $\left(\dfrac{\pi}{2}-1\right)^2$ et $\sqrt{\dfrac{\pi}{2}-1}$
    Il faut utiliser les résukltats démontrés ci-dessus mais pour cela il faut déterminer si $\dfrac{\pi}{2}-1$ est dans l'intervalle $[0;1]$ ou bien plus grand que 1
  4. Application 2: Comparer $\sqrt{3}-1$ et $\sqrt{\sqrt{3}-1}$.
    Il faut déterminer si $\sqrt{3}-1$ est supérieur ou inférieur à 1


 
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