Exercice 2310

Ecriture sans valeurs absolues et second degré

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- signe d'un polynôme du second degré
- simplification d'une expression en fonction des valeurs de x

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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=|x^2-2x+3|+\dfrac{1}{2}|x^2-6x+5|$.
  1. Etudier le signe de $x^2-2x+3$
    Il faut chercher les racines du polynôme
    $\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times 1\times 3=4-12=-8$
    $\Delta<0$ donc il n'y a aucune racine et le polynôme est de signe constant (du signe de $a=1$ coefficient de $x^2$)

    donc $x^2-2x+3>0$ pour tout réel $x$.
  2. Etudier le signe de $x^2-6x+5$
    Il faut chercher les racines du polynôme et on peut remarquer que $x_1=1$ est une racine du polynôme
  3. En déduire l'écriture de $f(x)$ sans les valeurs absolues en fonction des valeurs de $x$
    Il faut distinguer les cas $x\in [1;5]$ et $x\in ]-\infty;1]\cup [5;+\infty[$


 
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