Exercice 236

Fonction avec des valeurs absolues

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simplification de l'expression en fonction des valeurs de x
Tableau de variation de f
Représentation graphique de f

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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2|5-x|-5|4-3x|$
  1. Donner l'écriture de $f(x)$ sans les valeurs absolues en fonction de $x$
    On peut dresser un tableau de signes avec les expressions $5-x$ et $4-3x$
    Rappel si $5-x>0$ alors $|5-x|=5-x$ et si $5-x<0$ alors $|5-x|=-(5-x)=-5+x$
    $5-x>0 \Longleftrightarrow 5>x$
    donc si $x<5$, on a $5-x>0$ et donc $|5-x|=5-x$ et si $x>5$, on a $5-x<0$ et donc $|5-x|=-(5-x)=-5+x$
    et $4-3x>0 \Longleftrightarrow 4>3x \Longleftrightarrow \dfrac{4}{3}>x $
    donc si $x< \dfrac{4}{3}$, on a $4-3x>0$ et donc $|4-3x|=4-3x$ et si $x> \dfrac{4}{3}$, on a $4-3x<0$ et donc $|4-3x|=-(4-3x)=-4+3x$


    $f(x)=13x-10$ si $x<\dfrac{4}{3}$, $f(x)=-17x+30$ si $\dfrac{4}{3} \leq x\leq 5$ et $f(x)=-13x+10$ si $x>5$

  2. En déduire le tableau de variation de $f$.
    Une fonction affine est croissante si le coefficient de $x$ est positif (la représentation graphique est une droite de coefficient directeur $a$, coefficient de $x$)
  3. Tracer la courbe représentative de $f$.
    $f$ est une fonction affine par morceaux et sa représentation graphique est composée de deux demi-droites et un segment
    Il faut tracer respectivement $y=13x-10$, $y=-17x+30$ et $y=-13x+10$


 
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