Exercice 237

Simplification d'une expression avec des valeurs absolues

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Simplification d'une expression avec des valeurs absolues
Tableau de variation d'une fonction affine par morceaux

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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=|x-1|-|2x+6|$
  1. Donner l'écriture de $f(x)$ sans les valeurs absolues en fonction de $x$
    On peut dresser un tableau de signes avec les expressions $3x-2$ et $2x+6$
    Rappel si $x-1>0$ alors $|x-1|=x-1$ et si $x-1<0$ alors $|x-1|=-(x-1)=-x+1$
    $x-1>0 \Longleftrightarrow x>1$
    donc si $x>1$, on a $|x-1|=x-1$ et si $x<1$, on a $|x-1|=-(x-1)=-x+1$
    et $2x+6>0 \Longleftrightarrow x>\dfrac{-6}{2} \Longleftrightarrow x>-3$
    donc si $x>-3$, on a $|2x+6|=2x+6$ et si $x<-3$, on a $|2x+6|=-(2x+6)=-2x-6$


    $f(x)=x+7$ si $x<-3$, $f(x)=-3x-5$ si $-3\leq x\leq 1$ et $f(x)=-x-7$ si $x>1$


    au signe $-$ devant $|2x+6|$ soit $-(-2x-6)$ ou bien $-(2x+6)$
  2. En déduire le tableau de variation de $f$.
    Une fonction affine est croissante si le coefficient de $x$ est positif (la représentation graphique est une droite de coefficient directeur $a$, coefficient de $x$)


 
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