Exercice 239

Fonction définie avec des valeurs absolues

Contenu

- écrire une expression sans valeurs absolues en fonction de x
- dresser le tableau de variation
- tracer la représentation graphique
- résoudre une équation et contrôler graphiquement

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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=|2x-6|-3|12-x|$.
  1. Donner l'expression de $f(x)$ sans valeurs absolues en fonction des valeurs de $x$.
    Il faut distinguer les cas $x<3$, $3\leq x<12$ et $x>12$
    $2x-6>0\Longleftrightarrow x>3$
    donc si $x\geq 3$ on a $2x-6\geq 0$ et donc $|2x-6|=2x-6$
    Si $x<3$ on a $2x-6<0$ et donc $|2x-6|=-2x+6$

    De même $12-x>0 \Longleftrightarrow 12>x$
    donc si $x<12$ on a $12-x>0$ et donc $|12-x|=12-x$
    et si $x>12$ on a $12-x<0$ et donc $|12-x|=-12+x$

    Il y a donc trois cas á étudier:
    - premier cas: $x<3$ (donc $x<12$)
    $f(x)=|2x-6|-3|12-x|=-2x+6-3(12-x)=x-30$

    - deuxième cas: $3\leq x<12$
    $f(x)=|2x-6|-3|12-x|=2x-6-3(12-x)=5x-42$

    - troisième cas: $12\leq x$
    $f(x)=|2x-6|-3|12-x|=2x-6-3(-12+x)=-x+30$
    $f(x)=\begin{cases} x-30\text{ si }x< 3\\ 5x-42 \text{ si } 3\leq x \leq 21 \\ -x+30 \text{ si } x> 12\end{cases}$

    Remarque
    On peut aussi utiliser un tableau pour écrire $f(x)$ sans valeurs absolues.
  2. En déduire le tableau de variation de $f$ et sa représentation graphique.
    rappel de seconde: $f$ affine est de la forme $xf(x)=ax+b$ et est croissante si $a>0$
  3. Résoudre l'équation $f(x)=10$ puis contrôler graphiquement le résultat.
    Il faut utiliser les différentes expressions de $f(x)$ et distinguer trois cas


 
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