Exercice 241

Application du cours pour déterminer le sens de variation d'une fonction

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Déterminer le sens de variation d'une fonction en utilisant les propriétés du cours(somme avec un rée, produit par un réel, inverse, racine carrée...)

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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x-2$
  1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\sqrt{3x-2}$ puis son sens de variation.
    La fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty[$
    Il faut étudier le signe de $3x-2$
    Déterminer d'abord le sens de variation de $f$ puis en déduire celui de $g$ (voir rappel de cours)
    $g$ est définie si $3x-2\geq 0$
    $3x-2\geq 0 \Longleftrightarrow 3x\geq 2 \Longleftrightarrow x\geq \dfrac{2}{3}$

    $D_g=\left[\dfrac{2}{3};+\infty \right[$

    $f$ est une fonction affine et le coefficient de $x$ est positif donc $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ donc sur $\left[\dfrac{2}{3};+\infty \right[$
    $f$ et $g=\sqrt {f}$ ont le même sens de variation donc $g$ est croissante sur $D_g$.

    $g$ est croissante sur $D_g$
  2. Déterminer le sens de variation la fonction $h$ définie sur $\left]\dfrac{2}{3};+\infty \right[ $ par $h(x)=\dfrac{1}{3x-2}$.
    Déterminer le signe de $f(x)$ sur $\left]\dfrac{2}{3};+\infty \right[ $
    Déterminer d'abord le sens de variation de $f$ puis en déduire celui de $h$ (voir rappel de cours)
  3. Déterminer le sens de variation la fonction $j$ définie sur $\left]\dfrac{2}{3};+\infty \right[ $ par $j(x)=\dfrac{-4}{3x-2}$.

    Utiliser le sens de variation de $h$ puis en déduire celui de $j=-4h$ (voir rappel de cours)


 
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