Exercice 312

Equation réduite d'une droite

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déterminer l'équation réduite d'une droite par le calcul et contrôle du résultat graphiquement

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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^2+1$.
Montrer que $f$ est dérivable en $x_0=2$ et calculer $f'(2)$.
Contrôler le résultat obtenu avec la calculatrice.
Calculer $T_{h}=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}$ (taux d'accroissement de $f$ entre 2 et $2+h$ pour tout réel $h\neq 0$
Vérifier que la limite de de $T_{h}$ existe quand $h\longrightarrow 0$ et conclure
Pour contrôler le résultat avec la calculatrice, utiliser le menu TABLE en activant l'option DERIVATIVE (voir fiche méthode calculatrice: tableau de valeurs de la dérivée).
Calcul du taux d'accroissement de $f$ entre 2 et $2+h$ pour tout réel $h\neq 0$:
$T_{h}=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}$
$T_{h}=\dfrac{2(2+h)^2+1-(2\times 2^2+1)}{2+h-2}$
$T_{h}=\dfrac{2(4+4h+h^2)+1-9}{h}$
$T_{h}=\dfrac{8+8h+2h^2+1-9}{h}$
$T_{h}=\dfrac{8h+2h^2}{h}$
$T_{h}=\dfrac{h(8+2h)}{h}$
$T_{h}=8+2h$

Quand $h \longrightarrow 0$ on a $T_{h} \longrightarrow 8$

On peut noter aussi (avec la notation des limites): $\displaystyle \lim_{ h \rightarrow 0 }8+2h=8$


$f$ est dérivable en $a=2$ et $f'(2)=8$


Remarque
La courbe représentative de la fonction $f$ admet une tangente de coefficient directeur $f'(2)=8$ au point de la courbe de coordonnées $(2;9)$

Avec la calculatrice, utiliser le menu TABLE, saisir la fonction $f$ dans Y1 puis afficher le tableau de valeurs de $f$ et de $f'$.(voir aussi fiche méthode calculatrice: tableau de valeurs de la dérivée)
On obtient effectivement le résultat $f'(2)=8$


 
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