Exercice 321

Nombre dérivé en un point

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Taux d'accroissement d'une fonction
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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+1$.
  1. Calculer le taux d'accroissement de $f$ entre $a=1$ et $b=1+h$ avec $h$ réel non nul.
    Calculer $T_{h}=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$ (taux d'accroissement de $f$ entre 1 et $1+h$ pour tout réel $h\neq 0$
    Vérifier que la limite de de $T_{h}$ existe quand $h\longrightarrow 0$ et conclure
    Pour contrôler le résultat graphiquement, tracer la droite passant par le point de la courbe d'abscisse 1 et de coefficient directeur $f'(1)$
    Calcul du taux d'accroissement de $f$ entre 1 et $1+h$ pour tout réel $h\neq 0$:
    $f(1)=1^2+1=2$
    $f(1+h)=(1+h)^2+1=1+2h+h^2+1=h^2+2h+2$
    $T_{h}=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$
    $\phantom{T_{h}}=\dfrac{h^2+2h+2-2}{1+h-1}$
    $\phantom{T_{h}}=\dfrac{h^2+2h}{h}$
    $\phantom{T_{h}}=\dfrac{h(h+2)}{h}$
    $\phantom{T_{h}}=h+2$

    Le taux d'accroissement de $f$ entre 1 et $1+h$ est $T_h=h+2$.
  2. En déduire que $f$ est dérivable en $a=1$ et donner la valeur de $f'(1)$.
    Contrôler le résultat obtenu sur le graphique puis avec la calculatrice ou GEOGEBRA.
    Chercher la limite de $T_h$ quand $h \longrightarrow 0$ (vers quelle valeur se rapproche $T_h$ quand $h$ se rapproche de 0)
    Avec Geogebra, saisir l'expression de $f$ dans la barre de saisie pour tracer la courbe
    Dans la barre de saisie, avec la syntaxe TANGENTE[abscisse du point,nom de la fonction] soit ici TANGENTE[1,f], on peut lire dans la fenêtre algèbre le coefficient directeur de la tangente et donc $f'(1)$
  3. Montrer que $f$ est dérivable en $x=2$ et déterminer $f'(2)$.
    Contrôler le résultat avec la calculatrice ou GEOGEBRA.
    Calculer $T_{h}=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}$ (taux d'accroissement de $f$ entre 2 et $2+h$ pour tout réel $h\neq 0$
    Vérifier que la limite de de $T_{h}$ existe quand $h\longrightarrow 0$ et conclure


 
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