Exercice 322

Nombre dérivé en un point

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Fonction racine carrée
Taux d'accroissement
Nombre dérivé en un point

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La fonction $f$ est définie sur $[-1;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x+1}$.
Montrer que $f$ est dérivable en $x_0=1$ et calculer $f'(1)$.

Calculer $T_{h}=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$ (taux d'accroissement de $f$ entre 1 et $1+h$ pour tout réel $h\neq 0$ tel que $1+h\in [-1;+\infty[$
Pour déterminer la limite de $T_{h}$, multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du numérateur (voir aussi partie cours la démonstration de la dérivée de la fonction racine carrée)
L'expression conjuguée de $a-b$ est $a+b$ et $(a-b)(a+b)=a²-b²$ (troisième identité remarquable)
Vérifier que la limite de de $T_{h}$ existe quand $h\longrightarrow 0$ et conclure
Penser à vérifier que le résultat obtenu est correct avec la calculatrice(voir aussi Fiche méthode: tableau de valeurs de la fonction dérivée)
Calcul du taux d'accroissement de $f$ entre 1 et $1+h$ pour tout réel $h\neq 0$ tel que $1+h \in [-1;+\infty[$:
$T_{h}=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{1+h-1}$
$T_{h}=\dfrac{\sqrt{1+h+1}-\sqrt{1+1}}{h}$
$T_{h}=\dfrac{\sqrt{2+h}-\sqrt{2}}{h}$
$T_{h}=\dfrac{(\sqrt{2+h}-\sqrt{2})(\sqrt{2+h}+\sqrt{2})}{h(\sqrt{2+h}+\sqrt{2})}$
On multiplie par l'expression conjuguée du numérateur $\sqrt{2+h}+\sqrt{2}$ pour faire apparaître la troisième identité remarquable.
$T_{h}=\dfrac{\sqrt{2+h}^{2}-\sqrt{2}^{2}}{h(\sqrt{2+h}+\sqrt{2})}$
$T_{h}=\dfrac{2+h-2}{h(\sqrt{2+h}+\sqrt{2})}$
$T_{h}=\dfrac{h}{h(\sqrt{2+h}+\sqrt{2})}$
$T_{h}=\dfrac{1}{\sqrt{2+h}+\sqrt{2}}$

Quand $h \longrightarrow 0$ on a:
$\sqrt{2+h}+\sqrt{2}\longrightarrow \sqrt{2}+\sqrt{2}$
soit $\sqrt{2+h}+\sqrt{2}\longrightarrow 2\sqrt{2}$
donc $T_{h} \longrightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$
Avec les notations des limites, on peut écrire:
$\displaystyle \lim_{ h \rightarrow 0 }\dfrac{1}{\sqrt{2+h}+\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$

$f$ est dérivable en $x_{0}=1$ et $f'(1)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$

Penser à vérifier que le résultat obtenu est correct avec la calculatrice(voir aussi Fiche méthode: tableau de valeurs de la fonction dérivée)


Remarque
La courbe représentative de la fonction $f$ admet une tangente de coefficient directeur $f'(1)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ au point de la courbe de coordonnées $(1;\sqrt{2})$


 
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