Exercice 323

Nombre dérivé-fonction valeur absolue

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Taux d'accroissement
Fonction valeur absolue
Nombre dérivé en un point

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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=|x-3|$.
Montrer que $f$ est dérivable en $x_0=-2$ et calculer $f'(-2)$.

Calculer $T_{h}=\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h}$ (taux d'accroissement de $f$ entre $-$2 et $-2+h$ pour tout réel $h\neq 0$
Pour déterminer la limite de $T_{h}$, quand $h\longrightarrow 0$, on peut considérer $h$ proche de 0 et donc que $-2+h<0$ pour exprimer $T_{h}$ sans valeur absolue
Vérifier que la limite de de $T_{h}$ existe quand $h\longrightarrow 0$ et conclure
Calcul du taux d'accroissement de $f$ entre $-2$ et $-2+h$ pour tout réel $h\neq 0$
$T_{h}=\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{-2}$
$T_{h}=\dfrac{|-2+h-3|-|-2-3|}{-2}$
$T_{h}=\dfrac{|-5+h|-|-5|}{h}$
Quand $h$ est proche de 0, on a alors $-5+h<0$ et donc $|-5+h|=-(-5+h)=5-h$ et $|-5|=5$
donc $T_{h}=\dfrac{5-h-5}{h}$
donc $T_{h}=\dfrac{-h}{h}=-1$
Quand $h \longrightarrow 0$ alors $T_{h}\longrightarrow -1$
Avec les notations des limites, on peut écrire:
$\displaystyle \lim_{ h \rightarrow 0 }\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=-1$

$f$ est dérivable en $x_{0}=-2$ et $f'(-2)=-1$

Penser à contrôler le résultat avec la calculatrice (voir fiche méthode calculatrice: tableau de valeurs de la dérivée).



Remarque
Pour $x<3$, on a $x-3<0$ donc $|x-3|=-(x-3)=3-x$
donc $f(x)=3-x=-x+3$ et donc la représentation graphique de $f$ est une demi-droite de coefficient directeur $-1$ (coefficient de $x$).
La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-2$ est donc la droite de coefficient directeur $-1$.
La tangente et la courbe sont confondues.


 
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