Exercice 715

Formule d'Al-Kashi- formule de Héron d'Alexandrie

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Formule d'Al-Kshi
- trigonométrie dans un triangle rectangle Formule de Héron d'Alexandrie: expression de l'aire du triangle en fonction de son périmètre

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$ABC$ est un triangle et on note $H$ le pied de la hauteur issue de $C$ dans $ABC$.
Pour la suite on notera $\widehat{A}=\widehat{BAC}$, $\widehat{B}=\widehat{ABC}$ et $\widehat{C}=\widehat{ACB}$.
  1. $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, montrer que l'on a bien $BC^2=AC^2+AB^2-2AB \times AC cos (\widehat{A})$
    cos (90^{\text{o}})=0$
    Si $ABC$ est rectangle en $A$ alors $cos(\widehat{A})=0$
    $AC^2+AB^2-2AB \times AC cos (\widehat{A})=AB^2+AC^2=BC^2$
  2. Montrer que dans chacun des cas ci-dessous, on a $BC^2=AC^2+(HB-HA)(HB+HA)$.
    On peut écrire que $BC^2=BH^2+HC^2$
    Dans le triangle $BCH$ rectangle en $H$, on a $BC^2=BH^2+CH^2$.
    et dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$, on a $AC^2=CH^2+HA^2$ soit $CH^2=AC^2-HA^2$
    En remplaçant $CH^2$ par $AC^2-HA^2$ dans $BC^2=BH^2+CH^2$, on a:
    $BC^2=BH^2+AC^2-AH^2=AC^2+BH^2-AH^2=AC^2+(BH+AH)(BH-AH)$
    - Cas 1: $H\in [AB]$
    On a alors $BH+AH=AB$ et $BH-AH=AB-AH-AH=AB-2AH$
    Dans $ACH$ rectangle en $H$: $AH=AC cos (\widehat{A})$
    donc $BH-AH=AB-2AC cos (\widehat{A})$
    Pour terminer:
    $BC^2=AC^2+(BH+AH)(BH-AH)$
    $\phantom{BC^2}=AC^2+AB(AB-2AC cos (\widehat{A}))$
    $\phantom{BC^2}=AC^2+AB^2-2AB \times AC cos (\widehat{A}))$
    - Cas 2: L'angle $\widehat{A}$ est obtus ($H\in [BA)$ et $H\notin [BA]$)
    On a alors $BH+AH=BA+AH+AH=AB+2AH$ et $BH-AH=AB$
    Dans $ACH$ rectangle en $H$: $AH=AC cos (\pi-\widehat{A})=-AC cos (\widehat{A})$
    donc $BH+AH=AB-2AC cos (\widehat{A})$
    Pour terminer:
    $BC^2=AC^2+(BH+AH)(BH-AH)$
    $\phantom{BC^2}=AC^2+(AB-2AC cos (\widehat{A}))(AB)$
    $\phantom{BC^2}=AC^2+AB^2-2AB \times AC cos (\widehat{A}))$
    - Cas 3: L'angle $\widehat{B}$ est obtus ($H\in [AB)$ et $H\notin [BA]$)
    On a alors $BH+AH=AH-AB+AH=2AH-AB$ et $BH-AH=-AB$
    Dans $ACH$ rectangle en $H$: $AH=AC cos (\widehat{A})$
    donc $BH+AH=2AC cos (\widehat{A})-AB$
    Pour terminer:
    $BC^2=AC^2+(BH+AH)(BH-AH)$
    $\phantom{BC^2}=AC^2+(2AC cos (\widehat{A})-AB)\times (-AB)$
    $\phantom{BC^2}=AC^2+2AC cos (\widehat{A})\times (-AB)+AB^2$
    $\phantom{BC^2}=AC^2+AB^2-2AB \times AC cos (\widehat{A})$

    On a donc démontré que $BC^2=AC^2+AB^2-2AB \times AC cos (\widehat{A})$ (formule d'Al-Kashi)
  3. Formule de Héron d'Alexandrie:
    1. En posant $a=BC$, $b=AC$ et $c=AB$, exprimer $cos(\widehat{A})$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.
      et en déduire l'expression de $sin(\widehat{A})$ en fonctions de $a$, $b$ et $c$.
      Utiliser la formule d'Al KAshi en isolant $cos(\widehat{A})$
    2. On pose $p=\dfrac{1}{2}(a+b+c)$ (demi périmètre du triangle $ABC$).
      Exprimer $p-a$, $p-b$ puis $p-c$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.
    3. En déduire que $\mathcal{A}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $ (formule de Héron d'Alexandrie)
      On a $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}AB\times CH=\dfrac{1}{2}AB\times AC sin (\widehat{A})$


 
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