Exercice 7210

Lieu de points dans un repère orthonormé

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Recherche d'une ensemble de points donnant un produit scalaire fixé dans un repère orthonormé

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Le plan est muni d'un repère orthonormé et on donne les points $A(2;1)$, $B(-2;4)$.
  1. Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{AB}=-4$
    Calculer les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB}$ et du vecteur $ \overrightarrow{AM}$ avec $M(x;y)$
    On note $x$ et $y$ les coordonnées de $M$.
    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{AB}}=x_B-x_A= -2-2 =-4 \\ y_{ \overrightarrow{AB}}=y_B-y_A= 4-1 = 3 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{AB}( -4 ; 3 )$

    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{AM}}=x_M-x_A= x-2 \\ y_{ \overrightarrow{AM}}=y_M-y_A= y-1 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{AM}(x-2 ;y-1 )$
    $\phantom{\Longleftrightarrow} \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{AB}=-4$
    $\Longleftrightarrow x_{ \overrightarrow{AM}}x_{ \overrightarrow{AB}}+y_{ \overrightarrow{AM}}y_{ \overrightarrow{AB}}=-4$
    $\Longleftrightarrow (x-2)\times (-4)+(y-1)\times 3=-4$
    $\Longleftrightarrow -4x+8+3y-3=-4$
    $\Longleftrightarrow -4x+3y+9=0$
    $ -4x+3y+9=0$ est une équation cartésienne de droite

    L'ensemble des points $M$ tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{AB}=-4$ est la droite d'équation $ -4x+3y+9=0$

    Graphiquement, on a alors:
  2. Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BM}=10$
    Calculer les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB}$ et du vecteur $ \overrightarrow{BM}$ avec $M(x;y)$


 
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