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Soit un vecteur $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan.
Le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ est défini par:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})$ si $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{v}\neq \overrightarrow{0}$
si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}= \overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$
Soit un vecteur $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ deux vecteurs non nuls du plan .
Si on note $C'$ et $D'$ les projetés orthogonaux de $C$ et $D$ sur $(AB)$, on a:
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C'D'}$
Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{C'D'}$ sont de même sens, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=AB\times C'D'$
Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{C'D'}$ sont sens contraires, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=-AB\times C'D'$ (en effet $(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C'D'})=-\pi$ et $cos(\pi)=-1$)
Cas ou les deux vecteurs ont la même origine (A et C confondus):
Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$, déterminer la nature du triangle $BHC$
Méthode 1: Calculer $BC$ et déterminer la mesure principale de l'angle orienté $( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})$ ou bien encore de $( \overrightarrow{BH}, \overrightarrow{BC})$
méthode 2: Utiliser le point $H$ et les distances $BA$ et $BH$
Soit un vecteur $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ deux vecteurs non nuls du plan .
Si on note $C'$ et $D'$ les projetés orthogonaux de $C$ et $D$ sur $(AB)$, on a:
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C'D'}$
Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{C'D'}$ sont de même sens, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=AB\times C'D'$
Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{C'D'}$ sont sens contraires, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=-AB\times C'D'$ (en effet $(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C'D'})=-\pi$ et $cos(\pi)=-1$)
Cas ou les deux vecteurs ont la même origine (A et C confondus):
Méthode 1: Utiliser les projetés orthogonaux des points B et C sur la droite $(AD)$
Méthode 2: Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $( \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{CB})$