Exercice 723

Produit scalaire dans un trapèze

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Calcul du produit scalaire en utilisant les angles orientés ou bien les projetés orthogonaux

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ABCD est un trapèze (voir figure ci-dessous) tel que $AB=7$ cm, $AD=5$cm et $CD=2$cm

  1. Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CD}$.
    Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD})$
    $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{CD}$ sont deux vecteurs colinéaires mais de sens contraires
    donc $( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD})=\pi+k2\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$
    et $cos(\pi)=-1$

    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CD}=|| \overrightarrow{AB}||\times || \overrightarrow{CD}||\times cos( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD})$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CD}}=AB \times CD\times cos( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD})$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CD}}=7\times 2\times (-1)$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CD}}=-14$

    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CD}=-14$

  2. Calculer $ \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}$.
    Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$, déterminer la nature du triangle $BHC$
    Méthode 1: Calculer $BC$ et déterminer la mesure principale de l'angle orienté $( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})$ ou bien encore de $( \overrightarrow{BH}, \overrightarrow{BC})$
    méthode 2: Utiliser le point $H$ et les distances $BA$ et $BH$
  3. Calculer $ \overrightarrow{AD}. \overrightarrow{CB}$.
    Méthode 1: Utiliser les projetés orthogonaux des points B et C sur la droite $(AD)$
    Méthode 2: Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $( \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{CB})$


 
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