Exercice 723
Produit scalaire dans un trapèze
ABCD est un trapèze (voir figure ci-dessous) tel que $AB=7$ cm, $AD=5$cm
et $CD=2$cm
- Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CD}$.
Produit scalaire de deux vecteurs
Soit un vecteur $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan.
Le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ est défini par:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})$ si $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{v}\neq \overrightarrow{0}$
si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}= \overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$
Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD})$$ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{CD}$ sont deux vecteurs colinéaires mais de sens contraires
donc $( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD})=\pi+k2\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$
et $cos(\pi)=-1$
$ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CD}=|| \overrightarrow{AB}||\times || \overrightarrow{CD}||\times cos( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD})$
$\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CD}}=AB \times CD\times cos( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD})$
$\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CD}}=7\times 2\times (-1)$
$\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CD}}=-14$
$ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CD}=-14$
- Calculer $ \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}$.
Valeurs du cos et sin
Produit scalaire de deux vecteurs
Soit un vecteur $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ deux vecteurs non nuls du plan .
Si on note $C'$ et $D'$ les projetés orthogonaux de $C$ et $D$ sur $(AB)$, on a:
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C'D'}$
Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{C'D'}$ sont de même sens, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=AB\times C'D'$
Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{C'D'}$ sont sens contraires, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=-AB\times C'D'$ (en effet $(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C'D'})=-\pi$ et $cos(\pi)=-1$)
Cas ou les deux vecteurs ont la même origine (A et C confondus):
Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$, déterminer la nature du triangle $BHC$
Méthode 1: Calculer $BC$ et déterminer la mesure principale de l'angle orienté $( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})$ ou bien encore de $( \overrightarrow{BH}, \overrightarrow{BC})$
méthode 2: Utiliser le point $H$ et les distances $BA$ et $BH$Aide en ligne (explications, conseils de révisions...)
- Calculer $ \overrightarrow{AD}. \overrightarrow{CB}$.
Cos et sin sur le cercle trigonométriques (valeurs remarquables)
Produit scalaire de deux vecteurs
Soit un vecteur $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ deux vecteurs non nuls du plan .
Si on note $C'$ et $D'$ les projetés orthogonaux de $C$ et $D$ sur $(AB)$, on a:
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C'D'}$
Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{C'D'}$ sont de même sens, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=AB\times C'D'$
Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{C'D'}$ sont sens contraires, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=-AB\times C'D'$ (en effet $(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C'D'})=-\pi$ et $cos(\pi)=-1$)
Cas ou les deux vecteurs ont la même origine (A et C confondus):
Méthode 1: Utiliser les projetés orthogonaux des points B et C sur la droite $(AD)$
Méthode 2: Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $( \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{CB})$Réussir en maths, c'est possible, rejoignez-nous!