Exercice 724

Produit scalaire dans un parallélogramme

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Calcul du produit scalaire avec les normes des vecteurs et la mesure de l'angle orienté
Calcul du produit scalaire en utilisant la relation de Chasles sur les vecteurs

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ABCD est un parallélogramme orienté dans le sens direct (voir figure ci-dessous) tel que $AB=4$, $AD=3$ et $\widehat{BAD}=45^0$

  1. Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}$
    .
    $\dfrac{\pi}{4}$ radians correspondent à $\dfrac{180}{4}=45$ degrés
    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}=|| \overrightarrow{AB}||\times || \overrightarrow{AD}||\times cos( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}} =AB\times AD \times cos(\dfrac{\pi}{4})$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}} =4\times 3 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}} =6\sqrt{2}$

    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}=6\sqrt{2}$
  2. Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{DC}$
    $ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}$ donc $( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC})=0+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
  3. En déduire $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$
    $ \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{DC}= \overrightarrow{AC}$


 
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