Exercice 725

Produit scalaire dans un hexagone régulier

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Calcul de produits scalaires dans un hexagone régulier

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ABCD est un hexagone régulier de centre O tel que $OA=4$cm (voir figure ci-dessous).

  1. Calculer $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}$.
    Les triangles OAB, OBC,....sont équilatéraux
    .

    $( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}=|| \overrightarrow{OA}||\times || \overrightarrow{OB}||\times cos( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})$
    $\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}}=OA\times OB \times cos(\dfrac{\pi}{3})$
    $\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}}=16 \times \dfrac{1}{2}$
    $\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}}=8$

    $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}=8$
  2. Calculer $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OD}$.
    .
    $( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OD})=\pi+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OD}=|| \overrightarrow{OA}||\times || \overrightarrow{OD}||\times cos( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OD})$
    $\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OD}}=OA\times OD \times cos(\pi)$
    $\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OD}}=16 \times (-1)$
    $\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OD}}=-16$

    $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OD}=-16$
  3. Calculer $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OE}$.
  4. Calculer $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{FB}$.
    OBAF est un losange donc les diagonales $(OA)$ et $(BF)$ sont perpendiculaires
  5. Calculer $ \overrightarrow{AD}. \overrightarrow{FC}$.
    $( \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{FC})=( \overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OC})$


 
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