Exercice 735

Utilisation des propriétés algébriques

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Factorisation
Utilisation de la relation de Chasles

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$ABCD$ est un rectangle de centre O tel que $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}=3$
Calculer $ \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AD}$
Utiliser les propriétés algébriques du produit scalaire pour factoriser
\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{DA}= \overrightarrow{DB}$
$ \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AC}.( \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AD})$
$\phantom{ \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AD}}= \overrightarrow{AC}.( \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{DA})$
$\phantom{ \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AD}}= \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{DB}$
$O$ est le centre du rectangle $ABCD$
donc $O$ est le milieu de $[AC]$ et $[BD]$
donc $ \overrightarrow{AC}=2 \overrightarrow{AO}$ et $ \overrightarrow{DB}=2 \overrightarrow{OB}$
$ \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{DB}$
$\phantom{ \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AD}}=(2 \overrightarrow{AO}).(2 \overrightarrow{OB})$
$\phantom{ \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AD}}=4 \overrightarrow{AO}. \overrightarrow{OB}$
$\phantom{ \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AD}}=-4 \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}$
$\phantom{ \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AD}}=-4\times 3$
$\phantom{ \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AD}}=-12$

$ \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AD}=-12$


 
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