Exercice 736

Démonstration du théorème de la médiane

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Démonstration du théorème de la médiane vu en partie cours
Application sur un exemple dans un losange

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$ABC$ est un triangle quelconque et $I$ est le milieu de $[BC]$.
  1. Exprimer $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AC}$ en fonction de $ \overrightarrow{AI}$ et $ \overrightarrow{BC}$
    .
    $I$ milieu de $[BC]$ donc $ \overrightarrow{BI}= \overrightarrow{IC}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{BC}$
    $ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AI}+ \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{AI}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{CB}= \overrightarrow{AI}-\dfrac{1}{2} \overrightarrow{BC}$
    $ \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AI}+ \overrightarrow{IC}= \overrightarrow{AI}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{BC}$

    $ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AI}-\dfrac{1}{2} \overrightarrow{BC}$ et $ \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AI}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{BC}$
  2. En déduire $AB^2+AC^2$ en fonction de $AI$ et $BC$
  3. Application: $ABCD$ est un losange de côté 4cm et la diagonale $[AC]$ a pour longueur 6cm.
    Calculer longueur de la diagonale $[BD]$ sans utiliser le théorème de Pythagore


 
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