Exercice 741

Calcul de la longueur du troisième côté dans un triangle

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Calcul du produit scalaire dans un triangle en utilisant deux expressions différentes
Calcul de la longueur du troisième côté

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  1. $ABC$ est un triangle tel que $AB=6$cm et $AC=5$cm et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{6}$
    Calculer $BC$
    Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ en utilisant les distances $AB$, $AC$ et l'angle $\widehat{BAC}$
    Utilser le rappel de cours ci dessus en calculant $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ puis écrire une équation d'inconnue $BC^2$ en utilisant les deux résultats obtenus pour $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$
    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times cos( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=6\times 5 \times cos(\dfrac{\pi}{6})$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=30 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=15\sqrt{3}$

    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=15\sqrt{3}$


    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=\dfrac{6^2+5^2-BC^2}{2}$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=\dfrac{61-BC^2}{2}$

    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{61-BC^2}{2}$

    Il faut donc résoudre l'équation $\dfrac{61-BC^2}{2}=15\sqrt{3}$
    $\phantom{\Longleftrightarrow}\dfrac{61-BC^2}{2}=15\sqrt{3}$
    $\Longleftrightarrow 61-BC^2=2\times 15\sqrt{3}$
    $\Longleftrightarrow -BC^2=30\sqrt{3}-61$
    $\Longleftrightarrow BC^2=-30\sqrt{3}+61$
    $BC$ est une longueur donc $BC=\sqrt{61-30\sqrt{3}}$

    $BC=\sqrt{61-30\sqrt{3}}$
  2. $ABC$ est un triangle tel que $AB=6$cm et $AC=2\sqrt{13}$cm et $\widehat{ABC}=\dfrac{\pi}{3}$
    Calculer $BC$
    L'angle donné est l'angle de sommet $B$ donc il faut utiliser le produit scalaire des vecteurs $ \overrightarrow{BA}$ et $ \overrightarrow{BC}$
    Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ en utilisant les distances $AB$, $AC$ et l'angle $\widehat{ABC}$
    Exprimer ensuite $ \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}$ en fonction des distances $AB$, $AC$ et $BC$ puis écrire une équation d'inconnue $BC^2$ en utilisant les deux résultats obtenus pour $ \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}$


 
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